Puntos fijos de transformación lineal y conmutatividad

Question

¿Es cierta la afirmación de que

si dos matrices cuadradas $A$ i $B$ tienen los mismos puntos fijos $!=0$ para su transformación lineal (es decir, para algunos vectores $v_i !=0 $ tenemos $Av_i=v_i$ y $ Bv_i=v_i$ ) entonces son conmutativas (y su producto tiene los mismos puntos fijos, lo que es fácil de demostrar).

Si no, ¿cuándo se puede utilizar la información sobre los puntos fijos para confirmar la conmutatividad?

Ejemplos:
rotaciones en 3D alrededor de un mismo eje o composición de la rotación y proyección sobre el eje de rotación.

¿Es cierta también la afirmación vinculada de que
si dos matrices $A$ y $B$ son conmutativas y tienen algunos puntos fijos $!=0$ común entonces todos sus puntos fijos $!=0$ debe ser el mismo?

Answer 1

Pista:

Para la primera pregunta, considere el contraejemplo: $$ A=\begin{bmatrix} 1&2\\0&2 \end{bmatrix} \qquad B=\begin{bmatrix} 1&2\\0&-2 \end{bmatrix} $$ que tienen el mismo vector propio $v=[1,0]^T$ para el valor propio $\lambda=1$ pero tienen el segundo valor propio y el vector propio diferentes. Las dos matrices no conmutan.

Para el segundo, un contraejemplo es más sencillo: $$ A=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix} \qquad B=\begin{bmatrix} 1&0\\0&2 \end{bmatrix} $$