Sea $A \subseteq \mathbb{R}^d$ . Sea $B_1,B_2,\ldots \subseteq \mathbb{R}^d$ sea una colección contable de conjuntos $A = \bigcup_i B_i$ con solapamiento finito $N$ . Esto significa que cada $x \in A$ pertenece como máximo a $N$ de los conjuntos $B_i$ . Sea $f$ sea una función definida en $A$ . Supongamos que los conjuntos y las funciones son mensurables con respecto a una medida $\mu$ en $\mathbb{R}^d$ .
Pregunta 1 :
Si $f \geq 0$ ¿tenemos $$ \sum_{i} \int_{B_i} f(x) d\mu(x) \leq C_N \int_A f(x) d\mu(x) $$ para alguna constante $C_N>0$ en función de $N$ ? En caso afirmativo, ¿cómo puede demostrarse y puede $C_N$ se escriba explícitamente?
Motivación:
Si $A$ es contable y $\mu$ es la medida de recuento, el lado izquierdo es $$ \sum_{i} \sum_{x \in B_i} f(x). $$ Para cada $x \in A$ el sumando $f(x)$ puede aparecer como máximo $N$ veces en esta suma. Así que la suma es $$ \leq N \sum_{x \in A} f(x). $$ Este argumento me parece correcto. Pero creo que puede ser más claro usando intersecciones para formar una cubierta disjunta de $A$ . Y tal vez esa es la manera de obtener el resultado para las medidas generales $\mu$ . El argumento también se basa en poder reordenar una suma de números positivos. Esto sugiere que algo así debería funcionar si $f$ es absolutamente integrable con respecto a $\mu$ pero no necesariamente positiva.
Pregunta 2:
Si $f$ es absolutamente integrable con respecto a $\mu$ ¿tenemos $$ c_N \int_A f(x) d\mu(x) \leq \sum_{i} \int_{B_i} f(x) d\mu(x) \leq C_N \int_A f(x) d\mu(x)? $$ ¿Cómo demostrarlo? ¿Puede $c_N$ y $C_N$ escribirse explícitamente.
Actualización: He encontrado la respuesta a la pregunta 1. El truco consiste en utilizar funciones características. Los supuestos dan
$$1_A \leq \sum_{i} 1_{B_i} \leq N,$$ de donde $$ \sum_{i} \int_{B_i} f d\mu = \int_A \sum_{i} 1_{B_i} \, f \, d\mu \leq N \int_A f d\mu. $$ Aprendí el truco del artículo sobre el teorema de cobertura de Besicovitch https://en.wikipedia.org/wiki/Besicovitch_covering_theorem
