Construye un triángulo dada su circunferencia circunscrita y los tres puntos de la misma....

Question

Construir un triángulo dada su circunferencia circunscrita y los tres puntos de la misma en los que la altitud, la bisectriz del ángulo y la mediana, trazadas desde el mismo vértice, intersecan a la circunferencia.

El problema es del libro. He copiado la pregunta exactamente como la plantea el libro, incluyendo las puntuaciones. Abajo hay algo que hice como una especie de "vistazo" rápido. Las cifras rojas son las dadas. .

Answer 1

Sea $H_A,L_A,M_A$ son los puntos de la circunferencia dados por la altitud, la bisectriz del ángulo y la mediana que pasa por $A$ . Sea $O$ sea el centro de la circunferencia (es decir, el circuncentro de $ABC$ ).

1. El paralelismo con $O L_A$ a través de $H_A$ se encuentra con la circunferencia en $A$ ;
2. $AM_A$ y $OL_A$ se encuentran en el punto medio de $BC$ ;
3. La perpendicular a $OL_A$ a través del punto medio de $BC$ es el $BC$ lado.

Si no sabes qué punto se encuentra en cada cevián tienes que tener en cuenta que en el $BC$ lado el pie de la bisectriz del ángulo siempre se encuentra entre el pie de la altitud y el punto medio de la $BC$ lado por el teorema de la bisectriz. De ello se deduce que existen como máximo dos soluciones asociadas a los etiquetados $(H_A,L_A,M_A)$ y $(M_A,L_A,H_A)$ :