Notación: Denotaré la cohomología ( $\ker T/ \operatorname{im} S$ ) por $H$ y los elementos armónicos de $B$ por $\mathscr{H}$ . Obsérvese que los armónicos $\mathscr{H}$ consisten precisamente en la intersección del núcleo de $T$ con el núcleo de $S^\ast$ ya que $\Delta u = 0 \implies 0=\langle \Delta u, u \rangle = \langle S^\ast u, S^\ast u \rangle + \langle T u, T u \rangle \implies S^\ast u = Tu =0$ .
Por comodidad, dejemos que $\tilde{A} = A \oplus C$ y ver $S$ y $T$ como operadores $S \oplus 0 : \tilde{A} \to B$ y $0 \oplus T: B \to \tilde{A}$ de modo que nuestro complejo es $$\tilde{A} \overset{S}{\to} B \overset{T}{\to} \tilde{A} $$ Sea $D = S^\ast + T$ considerado como un "operador de Dirac". $B \to \tilde{A}$ . Su adjunto es $D^\ast = S + T^\ast: \tilde{A} \to B$ . Entonces $D^\ast D = \Delta$ y $\mathscr{H} = \ker D$ .
Ahora bien, puesto que $\mathscr{H} \subset \ker T$ existe un mapa natural $\mathscr{H} \to H$ que asigna un elemento a su clase de cohomología. Este mapa puede verse que es inyectivo, bajo ningún supuesto adicional. Me centraré en la cuestión de su surjectivity . La respuesta de David muestra que no es suryectiva en general; intentaré responder a la pregunta 3, es decir, plantear condiciones suficientes para la suryectividad.
Mi fuente para lo que sigue es la demostración del teorema de Hodge para complejos elípticos en las notas de Liviu Nicolaescu sobre el teorema del índice ( enlace ). La hipótesis habitual en el caso de un complejo elíptico es que $D$ es un operador diferencial elíptico sobre una variedad compacta, del que se deducen varias propiedades interesantes. Creo que he identificado las dos hipótesis siguientes que se dan en los complejos elípticos y que son necesarias para que funcione la prueba de Nicolaescu:
- $\mathscr{H}$ es un cerrado subespacio de $B$ . (No estoy seguro, pero creo que esto es válido si $T$ y $S^\ast$ son ambos operadores cerrados no limitados. En el caso $D$ es un operador diferencial elíptico, $\mathscr{H}$ es de hecho finito-dimensional).
- Una propiedad "alternativa de Fredholm" para $D^\ast$ que expondré a continuación: $(\ker D)^\perp$ se encuentra en el intervalo de $D^\ast$ (es decir, para cada $v \in \mathscr{H}^\perp = (\ker D)^\perp$ existe $u \in \text{Dom}(D^\ast) \subset \tilde{A}$ tal que $D^\ast u = v$ ).
(Estoy un poco oxidado en la teoría de operadores no limitados, así que es posible que esté siendo descuidado aquí de alguna manera).
He aquí un esbozo, siguiendo a Nicolaescu y utilizando los supuestos 1 y 2 anteriores, de una prueba de la subjetividad del mapa $\mathscr{H} \to H$ es decir, que cada clase de cohomología contiene un elemento armónico:
Para $h \in \ker T$ , dejemos que $\tilde{h} \in \mathscr{H}$ sea la proyección ortogonal de $h$ en $\mathscr{H}$ (que existe por la cerrazón de $\mathscr{H}$ ). Queremos demostrar que $h$ y $\tilde{h}$ son cohomólogas, es decir, que $h = \tilde{h} + Su$ para algunos $u$ . La propiedad alternativa de Fredholm nos da que $h - \tilde{h} = D^\ast u$ para algunos $u$ ya que $h - \tilde{h} \in \mathscr{H}^\perp$ por la definición de proyección ortogonal. Aplicando $T$ da que $ 0 = T(h - \tilde{h}) = TD^\ast u = TSu + TT^\ast u = TT^\ast u$ demostrando $T^\ast u= 0$ . Así, de hecho $D^\ast u = S u$ y $h$ y $\tilde{h}$ son cohomólogas.
Observaciones: Tal vez la hipótesis 2 (la propiedad alternativa de Fredholm) podría reformularse, o podría encontrarse una condición suficiente más útil para ella. Las notas de Nicolaescu (p. 60) ofrecen una demostración de la propiedad de Fredholm (suponiendo que $D^\ast$ es un operador elíptico) que parece utilizar la regularidad elíptica y el hecho de que el rango de $D^\ast$ es cerrado (lo que demuestra utilizando una desigualdad de Poincare y la incrustación compacta del teorema de Rellich).
Quizá puedan encontrarse condiciones suficientes más débiles, pero no estoy seguro.
Como puede resultar evidente, me siento un poco incómodo trabajando en este entorno abstracto. Preferiría trabajar con operadores elípticos y espacios de Sobolev. Agradecería los comentarios de los lectores.
