Coeficiente del término libre en una EDO lineal de segundo orden utilizando la variación de los parámetros y el determinante de Wronsk

Question

Sea $J(x)$ y $N(x)$ sean dos soluciones linealmente independientes de la ecuación

$$x^2y''+xy'+(-1+x^2)y=f(x)$$

Se sabe que la solución general de la ecuación viene dada por la fórmula

$$y=-J(x)\int N(x) xe^{-x^2} dx +N(x)\int J(x) xe^{-x^2} dx$$

Entonces

A) $ f(x)=x^2e^{-x^2} $

B) $ f(x)=xe^{-x^2} $

C) $ f(x)=e^{-x^2} $

D) $ f(x)=x^{-1}e^{-x^2} $

E) Ninguna de las anteriores

No estoy seguro de cómo encontrar el Determinante Wronskiano de $J(x)$ y $N(x)$ porque por lo que pienso la solución sería en forma de serie de potencias. Si $W(x)$ entonces puedo sustituirlo por $\frac{f(x)}{W(x)}= xe^{-x^2}$ pero no creo que sea así como se supone que hay que hacerlo.

¿Puede sugerir alguna forma de abordar este problema? Muchas gracias.

Answer 1

Basta con tomar las derivadas e insertarlas en la fórmula dada, \begin{align} y'(x)&=-J'(x)\int N(x)g(x)dx+N'(x)\int J(x)g(x)dx\\ y''(x)&=(N'J-NJ')g(x)-J''(x)\int N(x)g(x)dx+N''(x)\int J(x)g(x)dx\\ f(x)=x^2y''+xy'+(x^2-1)y&=x^2(N'J-NJ')g(x) \end{align} y el término wronskiano $W=N'J-NJ'$ tiene la derivada $$ x^2W'=x^2(N''J-NJ'')=-x(N'J-NJ')-(x^2-1)(NJ-NJ)\implies W=\frac{C}{x} $$ y asumiendo $W(1)=1$ se tiene $C=1$ .