Es $x(1 - 2x) \le \frac{1}{8}$ y además, es $x(1 - ax) \le \frac{1}{4a}$

Question

Es evidente que $x(1-x) \le \frac{1}{4}$

¿Se deduce asimismo que $x(1-2x) \le \frac{1}{8}$ ?

Este es mi razonamiento:

(1) Para $x < \frac{1}{4}$ , $x(1-2x) < \frac{1}{8}$

(2) Para $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ , $x(1-2x) < \frac{1}{8}$

(3) Para $\frac{1}{2} < x$ , $x(1-2x) < 0$

Además, ¿puede generalizarse a $x(1-ax) \le \frac{1}{4a}$

Desde entonces:

(1) Para $x < \frac{1}{2a}$ , $x(1-ax) < \left(\frac{1}{2a}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4a}$

(2) Para $\frac{1}{2a} < x < \frac{1}{a}$ , $x(1-ax) < \left(\frac{1}{2a}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4a}$

(3) Para $\frac{1}{a} < x$ , $x(1-ax) < 0$

¿Son correctas ambas observaciones? ¿Sólo una es correcta? ¿Hay alguna excepción que se me haya escapado?

Answer 1

El primero es $$16x^2-8x+1\geq0$$ o $$(4x-1)^2\geq0.$$ El segundo para $a>0$ es $$4a^2x^2-4ax+1\geq0$$ o $$(2ax-1)^2\geq0.$$ Para $a<0$ la segunda desigualdad se invierte.

Answer 2

Considere la función $$f(x)=x(1-ax) \implies f'(x)=1-2ax\implies f''(x)=-2a$$ La primera derivada se anula en $x_*=\frac 1 {2a}$ y $$f\left(\frac{1}{2 a}\right)=\frac{1}{4 a}$$ El punto $x_*$ es un máximo si $a>0$ por la prueba de la segunda derivada y un mínimo en caso contrario.

Answer 3

También podemos proceder del siguiente modo

$$x(1 - ax) \le \frac{1}{4a} \iff ax^2- x+\frac{1}{4a}\ge 0$$

que se cumple cuando $a>0$ desde

$$\Delta=1-4\cdot \frac{1}{4a}=1-1=0$$

Answer 4

Sin ninguna derivada, sólo teoría de ecuaciones cuadráticas de bachillerato:

Un polinomio cuadrático (con coeficientes reales) tiene un extremo global en el punto arithmetic mean of its roots . Además, este extremo es un máximo si su coeficiente principal es negativo, un mínimo si el coeficiente principal es positivo.

Así que aquí, el extremo se alcanza en $\dfrac1{2a}$ y el coeficiente principal es $-a$ . Este extremo es un máximo si $a>0$ , a mínimo si $a<0$ y es igual a $$\frac1{2a}\biggl(1-a\,\frac1{2a}\biggr)=\frac1{4a}.$$

Answer 5

Si ya sabe que $x(1-x) \le 1/4$ para todos $x$ entonces también se cumple para $ax$ . Divide la inecuación obtenida por $a$ y obtendrá el resultado deseado.