¿Cómo calcularlo eficazmente?

Question

Si en la expansión de $(1 + x)^m \cdot (1 – x)^n $ los coeficientes de $ x $ y $ x^2 $ son 3 y -6 respectivamente, entonces m es ?

Lo resolví de la siguiente manera :

Expandiendo obtenemos, el coeficiente de $ x $ como $ (m-n) = 3 \cdots (1)$ y coeficiente de $ x^2 $ como $ \frac{n(n-1)}{2} + \frac{m(m-1)}{2} +- m \cdot n = -6 \cdots (2)$ después de sustituir y algún tratamiento algebraico obtuve m = 12 y n = 9.

Ahora esto es correcto pero estoy interesado si existe algún procedimiento corto tal que el problema entero podría ser hecho bajo una menta.

Answer 1

Para el coeficiente de $x$ a ser 3, $m-n=3$ como dijiste, así que $m>n$ y $m-n>0$ y podemos factorizar el producto original: $$\begin{align} (1+x)^m(1-x)^n&=(1+x)^{m-n+n}(1-x)^n \\ &=(1+x)^{m-n}(1+x)^n(1-x)^n \\ &=(1+x)^{m-n}\left((1+x)(1-x)\right)^n \\ &=(1+x)^{m-n}(1-x^2)^n \\ &=(1+x)^3(1-x^2)^n \end{align}$$ Ahora, el coeficiente de $x^2$ es la suma de los coeficientes de $x^2$ en $(1-x^2)^n=1-nx^2+\cdots$ y $(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$ Así que $-6=-n+3$ y $n=9$ . Desde $m-n=3$ , $m=12$ .