Sea $A$ sea un complejo $2$ por $2$ matriz con valores propios distintos $a, b$ . Demuestre que $A^n =\frac{ a^n}{a - b}(A - bI) + \frac{b^n}{b - a}(A - aI)$ .

Question

Sea $A\in\mathscr{M}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ sea una matriz con valores propios distintos $a\neq b$ . Demuestre que, para todo $n > 0$ , \begin{equation*} A^n =\frac{ a^n}{a - b}(A - bI) + \frac{b^n}{b - a}(A - aI). \end{equation*} (Ejercicio 707 de Golan, El álgebra lineal que debe conocer un estudiante de posgrado principiante .)

Lo demostré por inducción, bajo el supuesto de que es cierto para $A,A^2$ , \begin{equation*} A^n =\frac{ a^n}{a - b}(A - bI) + \frac{b^n}{b - a}(A - aI)=\frac{(a^n-b^n)A+(ab^n-a^nb)I}{a-b}\\\Rightarrow A^{n+1}=A\frac{(a^n-b^n)A+(ab^n-a^nb)I}{a-b}=\frac{(a^n-b^n)A^2+(ab^n-a^nb)A}{a-b}\cdots \end{equation*} pero no puedo probarlo por $A^2$ .

También me pregunto si hay otra forma de demostrarlo por inducción simplemente empezando por $A$ o un camino recto.

Gracias.

Answer 1

Tenemos $$A = X \begin{bmatrix}a & 0\\0 & b\end{bmatrix} X^{-1}$$ Es decir $$A^n = X \begin{bmatrix}a^n & 0\\0 & b^n\end{bmatrix} X^{-1}$$ Tenemos $$A-bI = X \begin{bmatrix}a-b & 0\\0 & 0\end{bmatrix} X^{-1} \text{ and }A-aI = X \begin{bmatrix}0 & 0\\0 & b-a\end{bmatrix} X^{-1}$$ Por lo tanto, $$\dfrac{a^n}{a-b}\left(A-bI\right) = X \begin{bmatrix}a^n & 0\\0 & 0\end{bmatrix} X^{-1} \text{ and }\dfrac{b^n}{b-a}\left(A-aI\right) = X \begin{bmatrix}0 & 0\\0 & b^n\end{bmatrix} X^{-1}$$ Por lo tanto, \begin{align} \dfrac{a^n}{a-b}\left(A-bI\right) + \dfrac{b^n}{b-a}\left(A-aI\right) & = X \begin{bmatrix}a^n & 0\\0 & 0\end{bmatrix} X^{-1} + X \begin{bmatrix}0 & 0\\0 & b^n\end{bmatrix} X^{-1}\\ & = X \begin{bmatrix}a^n & 0\\0 & b^n\end{bmatrix} X^{-1} = A^n \end{align}

Answer 2

Creo que se puede hacer con el teorema de cayley-hamilton que dice que una matriz satisface su ecuación característica. es decir $$A^2 -(a+b)A + abI = 0 $$ o $$A^2 = (a+b)A - abI$$ podemos usar esto para escribir cada potencia de $A$ como una combinación lineal de $A, I$ . utilizaremos el algoritmo de la división para hallar el resto. supongamos $$x^n = q(x)(x-a)(x-b) + \alpha x + \beta $$ poniendo $x = a, x = b$ da $$\pmatrix{a^n\\b^n} = \pmatrix{a &1\\b&1}\pmatrix{\alpha\\\beta} \to \pmatrix{\alpha\\\beta}=\frac{1}{a-b} \pmatrix{1 &-1\\-b&a}\pmatrix{a^n\\b^n}$$

y $$A^n = \frac{1}{a-b}\left(\left(a^n - b^n\right)A + \left(ab^n-a^nb\right)\right)= \frac{1}{a-b}\left(a^n\left(A- bI\right) +b^n \left(aI-A\right)\right).$$