Elipse congruente con su imagen bajo un mapa de cizalladura

Question

Consideremos el plano real $\mathbb R^2$ y el cartografía de cizalladura $$T(c) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{pmatrix}$$

¿Es posible encontrar una elipse $E \equiv \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} =1$ cuya imagen bajo $T_c$ es congruente consigo misma (la imagen de sí misma bajo una isometría)?

Sé que la imagen de $E$ en $T_c$ es el subconjunto que tiene por ecuación

$$\frac{X^2}{a^2} + \frac{(Y-cX)^2}{b^2} =1$$

pero no soy capaz de seleccionar apropiado $a,b$ (según $c$ ) para obtener la conclusión o una contradicción.

Se trata de una cuestión posterior de éste .

Answer 1

Sí, es posible. Tomemos una elipse que pase por los puntos $A(0,1)$ , $B(0,-1)$ , $C(1,-c/2)$ y $D(-1,c/2)$ centrada en el origen y con tangentes en $C$ y $D$ siendo vertical.Su cizallamiento toma los puntos dados a $T(A)=(0,1)$ , $T(B)=(0,-1)$ , $T(C)=(1,c/2)$ y $T(D)=(-1,-c/2)$ y su elipse original a su imagen especular sobre el $x$ -eje. No es posible encontrar una elipse de la forma que propones cuya imagen sea congruente consigo misma. Necesitas una "girada" como la que he mencionado.