las raíces y el límite de $2^{x^{\cos(x)}}\sqrt{\cos(x)}=2^{x}$

Question

Si $$2^{(2\pi)^{\cos(2\pi)}}\sqrt{\cos(2\pi)}=2^{2\pi}$$

¿Se puede obtener o es plausible encontrar las raíces y el límite de $$2^{x^{\cos(x)}}\sqrt{\cos(x)}=2^{x}$$

si $0 < \cos(x)$ y $0 < x$ como $x \rightarrow 0$

Answer 1

¡Yo diría que es bastante plausible encontrar las raíces! :) Reescribir como $\cos x=4^{x-x^{\cos x}}$ .

Para $x\ge1$ , $x-x^{\cos x}\ge0$ es cierto porque $x^{\cos x}\le x^1$ Así pues $4^{x-x^{\cos x}}\ge4^0=1$ con igualdad si y sólo si $\cos x=1\iff x=2\pi k$ para $k\in\mathbb N$ .

Para $x<0$ el problema no tiene sentido. Para $x=0$ la igualdad se mantiene.

Para $0<x<1$ tenemos que utilizar $\cos x<1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}$ por lo que resulta un poco lioso. No obstante, obtenemos que no hay soluciones en este intervalo.

Así, nuestro conjunto de soluciones es $x=2\pi k$ para $k\in\mathbb N_0$ .