¿Coincidencia que las series de arctan sean series alternas de artanh?

Question

Me he dado cuenta de que la serie de potencias para $\arctan$ es la serie alterna de la de $\operatorname{arctanh}$ .

¿Tiene un significado especial o incluso algún tipo de importancia especial?

Answer 1

Las funciones hiperbólicas y trigonométricas son homólogas reales e imaginarias entre sí.

$$\arctan(ix)=i\,\text{artanh}(x),\\ \text{artanh}(ix)=i\,\arctan(x).$$

Para una serie impar,

$$\sum_k a_k(ix)^{2k+1}=i\sum_k a_k(-1)^kx^{2k+1}.$$

Así que sí, existe una relación fundamental.

Answer 2

Otra forma de verlo es recordar que uno sabe fácilmente que

$$ \arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n(x^2)^n, $$

et

$$ \text{artanh}'(x) = \frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (x^2)^n. $$

Integrando estas series (para más detalles, véase aquí ) y utilizando ese $\arctan(0)=\text{artanh}(0)$ explica los signos alternados.