Sobre la "dualidad entre el tiempo euclidiano y la temperatura finita (por ejemplo, QFT y mecánica termo-estadística)", haré tres partes. La primera parte describe la dualidad entre la integral de trayectoria de Feynman y las ecuaciones de matriz de densidad térmica. La segunda parte es una revisión de cómo funciona el enfriamiento de matrices de densidad y la tercera parte es cómo se podría obtener algo útil del enfriamiento de matrices de densidad.
Continuación analítica de la integral de trayectoria de Feynman como transformada de dualidad
A. Zee dice en el libro suyo que has citado, en su capítulo V.2 "Euclides, Boltzmann, Hawking y la teoría de campos a temperatura finita", página 263 en la primera edición de 2003:
Seguro que te harías un hueco entre los tipos místicos si contaras que la temperatura es equivalente al tiempo cíclico imaginario. A nivel nivel aritmético, esta conexión proviene simplemente del hecho de que los objetos centrales de la física cuántica $e^{-iHt}$ a $e^{-\beta H}$ están relacionadas por continuación analítica. Algunos físicos, yo incluido, creo que puede haber algo profundo aquí que no hemos entendido del todo.
El concepto de dualidad consiste en que algunos problemas físicos pueden convertirse a una forma diferente en la que se vuelven mucho más fáciles (o difíciles). Las dualidades que se discuten actualmente en la literatura son generalmente entre dos QFT o entre una QFT y una teoría de cuerdas. Pero la continuación analítica a la que se refiere Zee es entre QFT y mecánica estadística cuántica. Así que para utilizarla como dualidad, tenemos que poner la mecánica estadística en una forma cuántica.
Le site $e^{-\beta H}$ Zee menciona define la matriz de densidad térmica $\rho(T)$ por: \begin{equation} \rho(T) \propto e^{-H/T} \end{equation} donde la constante de proporcionalidad es $Z = \textrm{tr}(e^{-\beta H})$ y he elegido las unidades para que la constante de Boltzmann sea la unidad, de modo que $\beta = 1/(k_BT) = 1/T$ . Puesto que una matriz de densidad es un tipo de mecánica cuántica, esto hace que la continuación analítica que Zee discute sea una entre la integral de trayectoria de Feynmann, que es una formulación de QFT y la matriz de densidad, que es una formulación de QM.
Al utilizar una dualidad se espera convertir un problema cuántico difícil en uno fácil. La dificultad estriba en demostrar que ambos problemas están relacionados. ¿Cómo pueden estar relacionados? La QFT utiliza vectores de estado $|k\rangle$ para representar estados; las matrices de densidad se pueden hacer a partir de ellas mediante $\rho = |k\rangle\langle k|$ así que es un comienzo. La teoría cuántica de campos es un tipo de mecánica cuántica vectorial de estados en la que los componentes vectoriales son números de ocupación para cada energía posible. Así que estas formulaciones de la mecánica cuántica no están totalmente desvinculadas y podemos al menos imaginar que están relacionadas por una transformación de dualidad.
Entonces, ¿a qué tipo de problemas de partículas elementales podemos aplicar las matrices de densidad? Lo más sencillo es buscar en teorías que no dependan del espacio ni del tiempo. Parece que este tipo de problemas no llevan a ninguna parte, pero a veces se puede obtener información sobre los tipos de partículas sin tener que tratar explícitamente con el espaciotiempo. Por ejemplo, no hace falta resolver la ecuación de Dirac para darse cuenta de que sus matrices de 4x4 implican electrones y positrones de espín 1/2.
El resultado inmediato de la continuación analítica de la integral de trayectoria de Feynmann es convertir su cálculo de pequeñas porciones de tiempo a pequeñas porciones de $\beta = 1/T$ . Esto significa que se convierte un pequeño progreso (propagación) en el tiempo en un pequeño progreso en la temperatura inversa. En otras palabras, lo que hacíamos en QFT para que las cosas avanzaran en el tiempo se convierte, en las matrices de densidad térmica, en un método para reducir la temperatura de las matrices de densidad.
Matrices de densidad de refrigeración
Si pasamos al espaciotiempo de un solo punto, de modo que las integrales sobre el espacio se reducen a la multiplicación de matrices, el equivalente mecánico estadístico de la integral de trayectoria de Feynmann se convierte en: \begin{equation} \rho(T/N) \propto (\rho(T))^N. \end{equation} De nuevo, las constantes de proporcionalidad que faltan o están implícitas son $Z(T/N)$ a la izquierda y $Z(T)^N$ a la derecha. Esto define un método para reducir a la mitad la temperatura de la matriz de densidad: Cuadrar la matriz y luego fijar su normalización dividiendo por la traza. Al repetir la operación, la matriz de densidad se enfría cada vez más hasta que se aproxima a un límite en el que $\rho^2=\rho$ y no se puede avanzar más. Este es el límite de temperatura fría; el resultado son las matrices de densidad pura.
Para el espín-1/2, las matrices de densidad mixtas (temperatura finita) constituyen el interior de una esfera. Los estados puros están en la superficie de la esfera; dado un vector unitario real $\vec{u} = (u_x,u_y,u_z)$ el estado puro para el espín-1/2 en la dirección $\vec{u}$ viene dado por \begin{equation} \rho_u = 0.5(1 + u_x\sigma_x + u_y\sigma_y + u_z\sigma_z) = (1+\vec{u}\cdot \vec{\sigma})/2. \end{equation} Se puede obtener una matriz de densidad mixta haciendo $|\vec{u}|^2 < 1$ . Así pues, una matriz de densidad a temperatura finita viene dada por \begin{equation} \rho_u(T) =(1+0.2\vec{u}\cdot \vec{\sigma})/2. \end{equation} Cuadrando $\rho_u(T)$ utilizamos $(\vec{u}\cdot\vec{\sigma})^2=1$ para obtener \begin{equation} (\rho_u(T))^2 =(1+2(0.2)\vec{u}\cdot \vec{\sigma}+(0.2)^2)/4 =(0.52 + 0.2\vec{u}\cdot \vec{\sigma} )/2 \end{equation} que tiene traza $0.52$ por lo que para normalizarlo lo dividimos por la traza y obtenemos \begin{equation} \rho_u(T/2) =(1+0.3846\;\vec{u}\cdot \vec{\sigma})/2 \end{equation} y vemos que al reducir la temperatura a la mitad aumentó la $\vec{u}\cdot \vec{\sigma}$ coeficiente de $0.2$ a $0.3846$ es decir, casi duplicó la parte de giro. Siguiendo así seguimos aumentando este coeficiente hasta que se acerca a 1 y tenemos el estado puro $\rho_u$ .
Simetría de matrices de densidad a partir de un álgebra de grupo finito
La dualidad aquí descrita es inútil hasta que hagamos suposiciones adicionales. Dado que el lado "fácil" del cálculo es el enfriamiento de la matriz de densidad, nuestras suposiciones tendrán que aplicarse a las matrices de densidad.
Si no hay restricciones en las matrices de densidad, por lo que pueden ser cualquier matriz NxN que tenga traza unitaria y sea hermitiana, entonces su simetría será la SU(N) completa. Por ejemplo, las matrices de densidad 2x2 puras están formadas por vectores de estado SU(2), por lo que heredan la simetría SU(2). De forma más general, las matrices de densidad generales no restringidas a partir de matrices NxN se transformarán bajo la representación fundamental de la simetría SU(N).
Una de las cosas que permiten las matrices de densidad que no pueden hacerse con los vectores de estado es una representación sencilla de las mezclas estadísticas. Es decir, mezclas que no pueden existir en superposición cuántica. Por ejemplo (en el límite de la temperatura fría), no es posible crear una superposición cuántica entre partículas con cargas eléctricas diferentes. Se encuentran en "sectores de superselección" diferentes.
El hamiltoniano tiene que conmutar con el operador de carga y esto divide el espacio de Hilbert en sectores donde es imposible pasar de uno a otro. Pero si tenemos un haz de partículas que es mitad electrones y mitad neutrinos, podemos modelarlo como una matriz de densidad mixta. Si utilizamos SU(2) para representar el espín-1/2 del electrón y el neutrino, la restricción del sector de superselección para los vectores de estado se convierte en una restricción de la matriz de densidad mixta en la que los términos del producto cruzado entre el neutrino y el electrón tienen que ser cero. En otras palabras, la matriz de densidad tiene que ser diagonal en bloque: \begin{equation} \rho = \left(\begin{array}{cccc} \nu_{11}&\nu_{12}&&\\ \nu_{21}&\nu_{22}&&\\ &&e_{11}&e_{12}\\ &&e_{21}&e_{22} \end{array} \(derecha) \fin{ecuación} donde las entradas de la matriz que tienen que ser cero se dejan en blanco.
Ahora resulta que se pueden crear álgebras diagonales de bloque a partir de grupos finitos, como se discute ampliamente en el libro de Hamermesh "Group Theory and its Application to Physical Problems". Tengo la edición en rústica de Dover de 1989 con un precio de lista de 22,95 dólares. El considera un grupo finito $G$ con elementos $R$ :
$<<<$ A partir de un grupo $G$ podemos construir un sistema que se denomina álgebra . Las cantidades del álgebra son \begin{equation} \Sigma_R\;a_R\;R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3-162) \end{equation} donde los coeficientes $a_R$ son números complejos cualesquiera. Por suma de dos cantidades entendemos \begin{equation} \Sigma_Ra_RR + \Sigma_Rb_RR = \Sigma_R(a_R+b_R)R, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3-163) \end{equation} y el producto implica \begin{equation} \Sigma_Ra_RR \cdot \Sigma_Rb_RR = \Sigma_{R,S}a_Rb_S\;RS =\Sigma_R(\Sigma_S a_{RS}b_{S^{-1}} )R. \;\;\;\;\;\;(3-164) \end{equation} $>>>$
El álgebra de grupos finitos sobre los complejos se utiliza en los textos de teoría de grupos de Hamermesh y de física similar como una forma de definir las representaciones irreducibles de la simetría de grupos finitos. Esto se debe a que esta álgebra incluye todas las representaciones irreducibles posibles, y cada una de ellas se incluye una sola vez. Muy práctico cuando se trata de encontrar todas las representaciones irreducibles de una simetría de grupo finito.
Cuando se diagonaliza el álgebra de grupo todo lo posible, se obtiene una representación diagonal en bloque. Cada bloque corresponde a una representación irreducible distinta del grupo. Y lo que es más, los grados de libertad complejos en esa representación diagonal de bloques corresponden exactamente a los grados de libertad complejos en el álgebra de grupo.
Por ejemplo, el grupo finito $S_3$ son las 6 permutaciones sobre 3 objetos. Así que el grupo finito es de 6 dimensiones. Ahora un bloque diagonal NxN ocupará $N^2$ grados de libertad complejos y puesto que $S_3$ no es abeliano tendrá que tener al menos un bloque mayor que 1x1. Sólo hay una forma de escribir 6 como suma de cuadrados bajo esa restricción, $6 = 1^2 + 1^2 +2^2$ por lo que hay tres representaciones irreducibles de $S_3$ dos que son 1x1 y uno que es 2x2. Así pues, el álgebra de grupos finitos ofrece una forma cómoda de enumerar las posibles representaciones irreducibles de un grupo finito.
Pero desde el punto de vista de las matrices de densidad (en lugar de los vectores de estado) podemos pensar en el álgebra como el lugar donde viven las matrices de densidad de las partículas mixtas. Si empezamos con una matriz de densidad inicial no mixta, digamos con entradas no nulas sólo en el bloque diagonal 2x2, está claro que el límite de temperatura fría estará en ese bloque y por tanto corresponderá a una partícula con simetría interna SU(2). Y si la condición inicial fuera distinta de cero sólo en uno de los bloques 1x1 ese sería el límite de temperatura fría. Para los casos mixtos, el ganador será el bloque que domine a los demás por lo que el límite de temperatura fría tiene definidas tres partículas, una con simetría interna SU(2) y dos sin simetría interna. Las llamaríamos un doblete SU(2) y dos singletes SU(2) al igual que los quarks son dos tripletes de color SU(3) y los leptones son dos singletes de color SU(3).
Así que una posible aplicación de la dualidad QFT / estadística térmica continuación analítica es una forma de definir la simetría de partículas y representaciones por una elección de un grupo finito.
