Una prueba diferente del lema de Urysohn

Question

Quiero demostrar el Lemma de Urysohn siguiendo este enfoque.

Sea $K\subset V \subset \mathbb R^N$ con $K$ compacto y $V$ abierto. Configure $\delta= \mbox{ dist } (K,V^c)$ y tomar $\epsilon<\delta/2$ . Defina $V_\epsilon=\{x\in \mathbb R^N : \mbox{ dist } (x,K) < \epsilon\}$ y consideremos la siguiente función $$ g(x)=\frac{|V_\epsilon\cap B_\epsilon(x)|}{|B_\epsilon|}, \quad \mbox {where } B_\epsilon(x) \mbox{ denotes the ball centered at } x \mbox { and radius } \epsilon. $$ Necesidad de demostrar que $g\in \mathcal C_c(\mathbb R^N)$ y que $\forall x \in \mathbb R^N$ tenemos $\chi_K(x)\le g(x)\le \chi_{V}(x)$ .

De hecho, no sé cómo proceder.

Answer 1

Todas las reclamaciones excepto la continuidad de $g$ son claras. Para ello, supongamos $x_n\to x$ Así que $$ m(B_\epsilon) \lvert g(x_n) - g(x) \rvert = \lvert m( V_\epsilon \cap B_\epsilon(x_n)) - m(V_\epsilon \cap B_\epsilon(x)) \rvert \le m( V_\epsilon \cap (B_\epsilon(x_n) \mathbin{\square} B_\epsilon(x) ) ) \le m(B_\epsilon(x_n) \mathbin{\square} B_\epsilon(x)) = m(B_\epsilon(x_n)) + m( B_\epsilon(x)) -2 m(B_\epsilon(x_n) \cap B_\epsilon(x)) = 2 (m( B_\epsilon(x)) - m(B_\epsilon(x_n) \cap B_\epsilon(x)) $$ Aquí he escrito $\square$ para la diferencia simétrica y utilizó el principio de exclusión de la inclusión. Por lo tanto, el resultado se obtendrá si podemos demostrar que $m(B \cap (B+x)) \to m(B)$ como $x\to 0$ . Esto se deduce de este resultado .

Answer 2

Has llegado a un punto (en tu comentario del 20 de octubre a las 9:37) en el que tienes que demostrar que $|B_\epsilon(x_n)) \setminus B_\epsilon(x))|\to0$ como $x_n\to x$ . Pero, no entiendo muy bien cómo has llegado a $|B_\epsilon(x_n)) \setminus B_\epsilon(x))|$ .
(Creo que es correcto, pero los pasos que se muestran no son claros).
Empezó su comentario con $g(x_n)-g(x)=\frac{1}{|B_\epsilon|} |(V_\epsilon \cap B_\epsilon(x_n))-(V_\epsilon \cap B_\epsilon(x))|$ y yo pensaría que en su lugar habría que escribir $g(x_n)-g(x)=\frac{1}{|B_\epsilon|}\Bigl(|(V_\epsilon \cap B_\epsilon(x_n))|-|(V_\epsilon \cap B_\epsilon(x))|\Bigl)$ . Además de esta corrección, el LHS debe ser $|g(x_n)-g(x)|$ Así que $|g(x_n)-g(x)|=\frac{1}{|B_\epsilon|}|\Bigl(|(V_\epsilon \cap B_\epsilon(x_n))|-|(V_\epsilon \cap B_\epsilon(x))|\Bigl)|$ (donde algunas de las barras verticales denotan medida y otras valor absoluto).

En última instancia, tiene que demostrar que cuando $y$ está cerca de $x$ entonces la medida $|V_\epsilon \cap B_\epsilon(y)|$ se aproxima a la medida $|V_\epsilon \cap B_\epsilon(x)|$ .

Consideremos el caso en que $|V_\epsilon \cap B_\epsilon(y)|\ge|V_\epsilon \cap B_\epsilon(x)|$ (el otro caso es simétrico a éste).

Entonces $0\le|V_\epsilon \cap B_\epsilon(y)|-|V_\epsilon \cap B_\epsilon(x)|\le$
$\le|V_\epsilon \cap B_\epsilon(y)|-|(V_\epsilon \cap B_\epsilon(y))\cap(V_\epsilon \cap B_\epsilon(x))|=$
$=|(V_\epsilon \cap B_\epsilon(y))\setminus(V_\epsilon \cap B_\epsilon(x))|=$
$=|V_\epsilon \cap (B_\epsilon(y)\setminus B_\epsilon(x))|\le$
$\le|B_\epsilon(y)\setminus B_\epsilon(x)|$ .

Ahora, debería ser obvio que $|B_\epsilon(y)\setminus B_\epsilon(x)|\to0$ como $y\to x$ . Creo que esto podría haber sido lo que @DanielFischer tenía en mente cuando sugirió hacer un boceto, en un 19 de octubre a las 12:45 comentario. Un dibujo en el plano es fácil (y en $\Bbb R^3$ también bastante fácil). En el plano, las dos bolas (o discos) se superponen en su mayor parte, salvo dos pequeñas "lunas" (o medias lunas). La medida de estas lunas va a $0$ (como $y\to x$ ). La fórmula para el volumen $n$ -es un poco lioso (si prefieres no basarte en una imagen), pero sería más fácil llegar a una estimación del volumen de cada media luna, y una de esas estimaciones es el producto de la norma $|x-y|$ con el "área" del $(n-1)$ -dimensional "disco". (Estoy utilizando Principio de Cavalieri para esta estimación). La superficie de $(n-1)$ -a su vez no supera el "área" de $(n-1)$ -cuadrado de lado igual al diámetro de $B_\epsilon$ (que es $2\epsilon$ ). Por lo tanto, el área de tales $(n-1)$ -cuadrado de lado $2\epsilon$ es $(2\epsilon)^{n-1}=2^{n-1}\epsilon^{n-1}$ . La estimación del volumen de cada media luna es $2^{n-1}\epsilon^{n-1}|x-y|$ , y tenemos dos medias lunas por lo que el volumen total estimado es $2^n\epsilon^{n-1}|x-y|$ . Desde $n$ y $\epsilon$ son fijos, tenemos que $2^n\epsilon^{n-1}|x-y|\to0$ como $y\to x$ . (Puede que quieras verificar, y si es necesario corregir mis estimaciones, para confirmar que este enfoque funciona).

Una vez más, es útil hacer un dibujo.