¿Comprensión de la conducción de calor por fonones mediante la función de onda fonónica?

Question

Los electrones de un metal perfecto se describen mediante ondas de Bloch que tienen una forma particular dada por \begin{equation}\psi(\textbf{r})=e^{i\textbf{k}\cdot\textbf{r}}u_{n\textbf{k}}(\textbf{r}).\end{equation} que es una onda plana por una función periódica $u(\textbf{r})=u(\textbf{r}+\textbf{R})$ y $\textbf{R}$ es el vector de traslación de la red .

¿Puede escribirse una función de este tipo para los fonones de un cristal?

Esta pregunta me vino a la mente mientras preguntaba otra pregunta similar sobre la conducción de electrones en el metal. ¿Es posible entender la conducción térmica en sólidos por fonones utilizando algo similar a las funciones de Bloch para fonones?

Answer 1

Respuesta corta, sí, pero no te da directamente la conductividad térmica.

Se puede escribir un Hamiltoniano dinámico de celosía como suma de las energías potencial y cinética de los átomos del sistema:

$$H =\sum_i\frac{p_i^2}{2m_i} + U$$

Podemos utilizar la segunda ley de Newton para escribir las ecuaciones del movimiento:

$$m_i\ddot{\mathbf{u}}_i(t) = -\sum_{i'}\phi_{ii'}\mathbf{u}_i(t),$$

donde $\mathbf{u}$ es el desplazamiento del átomo $i$ del equilibrio, y $\phi$ es el segundo orden matriz de constantes de fuerza interatómicas. Estos tienen soluciones de onda plana de la forma,

$$\mathbf{u}_i(t) = \sum_{\mathbf{k},\nu}U(i,\mathbf{k},\nu)\exp{i[\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}_i-\omega(\mathbf{k},\nu)t]}$$

Dónde $U$ es una amplitud de movimientos colectivos. Esto se puede reformular como un conjunto de ecuaciones lineales:

$$m\omega^2(\mathbf{k},\nu)\mathbf{e}(i,\mathbf{k},\nu) = \mathbf{D}(\mathbf{k})\mathbf{e}(\mathbf{k},\nu),$$

donde $\mathbf{D}$ es la matriz dinámica, la transformada de Fourier de $\phi$ . Puedes obtener la derivación de cualquier libro de texto de dinámica de celosías.

El problema es que la solución sólo es analítica en la aproximación armónica, de ahí el segundo orden matriz de constantes de fuerza. Esencialmente, se supone que la energía potencial de la configuración de equilibrio de los átomos es localmente armónica, lo que suele ser válido a bajas temperaturas (o para pequeños desplazamientos atómicos). En la aproximación armónica, los tiempos de vida de los fonones son infinitos, por lo que no hay disipación de calor en un sólido, y hay que expandir la energía potencial a órdenes superiores, momento en el que la solución deja de ser agradable y analítica. Esencialmente, hay que resolver la ecuación fonón-Boltzmann, que nos permitirá recuperar los tiempos de vida de los fonones, y esto requiere, como mínimo, las constantes de fuerza interatómica de tercer orden.