Por qué $|K(x-y)-K(x)|\leq B|y|\left(\frac{|x|}{2}\right)^{-n-1}$ ?

Question

Sea $K:\mathbb R^n\backslash \{0\}\longrightarrow \mathbb C$ diferenciable s.t. $|K(x)|\leq B|x|^{-n}$ y $|\nabla K(x)|\leq B|x|^{-n-1}$ . Supongamos que $|x|>2|y|$ . Por IVT, $$K(x-y)-K(x)=-\int_0^1 \nabla _x K(x-ty)\cdot yd t.$$ Entonces, $$|K(x-y)-K(x)|\leq \int_0^1|\nabla _x K(x-ty)||y|d y\leq B|y|\int_0^1 |x-ty|^{-n-1}d t.$$

P1) Pero no veo por qué $$\int_0^1 |x-ty|^{-n-1}d t\leq \left(\frac{|x|}{2}\right)^{-n-1}.$$

Supongamos que tenemos cuando $|x|>2|y|$ que $$|K(x-y)-K(x)|\leq 2^{n+1}B|y||x|^{-n-1}.$$ Así que $$\int_{|x|>2|y|}|K(x)-K(x-y)|dx\leq 2^{n+1}B|y|\int_{|x|>2|y|}|x|^{-n-1}dx\leq B_1 |y||y|^{-1}=B_1.$$

P2) No entiendo la desigualdad $$2^{n+1}B|y|\int_{|x|>2|y|}|x|^{-n-1}dx\leq B_1 |y||y|^{-1}.$$ Yo pensaría que $$|x|>2|y|\implies \frac{1}{|x|}<\frac{1}{2|y|}\implies |x|^{-n-1}<2^{-n-1}|y|^{-n-1}$$ y así $$2^{n+1}B|y|\int_{|x|>2|y|}|x|^{-n-1}dx\leq B|y||y|^{-n-1}\int_{|x|>2|y|}dx=+\infty ,$$

y por eso no funciona...

Answer 1

Para la pregunta $1$ ya que $|x|>2|y|$ entonces tenemos $$|x-ty|\ge |x|-t|y| \ge |x|-\frac{t|x|}{2} \ge \frac{|x|}{2}$$ desde $t\in(0,1)$ y, por tanto $$|x-ty|^{-n-1}\le\left(\frac{|x|}{2}\right)^{-n-1}.$$ Para la pregunta 2, evalúa la integral directamente usando coordenadas polares: $$\int\limits_{|x|>2|y|}{|x|^{-n-1}\text{ d}x} = \int\limits_{2|y|}^{\infty}{r^{-n-1}(B_r\text{ d}r)} = \int\limits_{2|y|}^{\infty}{r^{-n-1}B_1r^{n-1}\text{ d}r} = B_1\int\limits_{2|y|}^{\infty}{r^{-2}\text{ d}r} = \frac{B_1}{2|y|} $$ donde $B_r$ es el volumen del $(n-1)$ -esfera de radio $r$ (y por tanto $B_r = B_1r^{n-1}$ ).