tasa de llegada en un único servidor con distribución general del tiempo de servicio.

Question

Los clientes llegan a una estación monoservidor con una tasa de Poisson $\lambda$ . Un cliente entra en el banco si el servidor está disponible; de lo contrario, sale. Los tiempos de servicio de los clientes sucesivos son independientes y tienen una distribución común $G$ y media $\mu$ . ¿Cuál es el ritmo de entrada de clientes en el sistema?

No consigo encontrar la respuesta. Supongo que aquí se aplicará el proceso de recompensa por renovación y que la regeneración se producirá cada vez que se complete un servicio. Si alguien me puede ayudar, por favor. Gracias de antemano.

Answer 1

En su pregunta se supone implícitamente que el sistema funciona en estado estacionario. Para que exista el estado estacionario, la carga del sistema (denotada por $\rho$ ) debe ser menor que uno, es decir $\rho=\lambda \mu<1$ .

El sistema por el que preguntas, cuando funciona en estado estacionario, sigue el ciclo $empty \rightarrow busy \rightarrow empty \rightarrow busy \rightarrow ...$ . Por lo tanto, la proporción de tiempo que el sistema está vacío es $$ {(mean \,\, empty \,\, time) \over (mean \,\, empty \,\, time) + (mean \,\, busy \,\, time)}= {{1 \over \lambda} \over {1 \over \lambda} + \mu}. $$

Así, la tasa de llegada de clientes que encuentran el sistema vacío es $\lambda \times {{1 \over \lambda} \over {1 \over \lambda} + \mu}$ .

p.d. Esta última conclusión utiliza la propiedad PASTA del proceso de Poisson. Por tanto, en general no es válida.

p.p.s. en la notación de Kendall, usted está preguntando sobre el $M/G/1/0$ sistema de colas. En cualquier libro clásico de teoría de colas, hay muchos resultados sobre esta cola.