Significado geométrico de esta EDP : $\left\{\begin{array}{lll} f_{t}+xf_{y}=0\\ f|_{t=0}=f_{0}(x,y) \end{array}\right.$

Question

Tengo respuestas para la siguiente EDP de primer orden éste $$\left\{\begin{array}{lll} f_{t}+xf_{y}=0\\ f|_{t=0}=f_{0}(x,y) \end{array}\right.$$

Pero me pregunto cuál es el significado geométrico de esta EDP.

Cualquier comentario o sugerencia será apreciado, gracias por considerar mi petición.

Answer 1

Esto parece una ley de equilibrio bidimensional o aquí mejor ley de conservación. Con $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}):=(x,y)$ defina $\vec{v}(t,\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix} 0\\\boldsymbol{x}_{1}\end{pmatrix} $ el problema de valor inicial puede escribirse como \begin{align*} f_{t}(t,\boldsymbol{x})+ \operatorname{div}\left(f(t,\boldsymbol{x})\vec{v}(t,\boldsymbol{x})\right)&=0\\ f(t,\boldsymbol{x})&=f_{0}(\boldsymbol{x}) \end{align*} Así, el dato inicial $f_{0}$ se conserva y se mueve en $\vec{v}$ dirección dependiente de $\boldsymbol{x}_{1}$ coordenada espacial.