Integrabilidad de Riemann del cuadrado de una función continua

Question

Déjalo, $f(x)$ sea continua en $[0,1]$ tal que, $\int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx=0$ para $n=0,1,2,3,...$ . Entonces demuéstralo, $\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx=0$ .

Primero aplicamos $1^{st}$ M.V.T. del cálculo integral & obtenemos, existe una constante $c \in [0,1]$ tal que, $\int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx=f(c)\int_{0}^{1}x^{n}dx=\dfrac{f(c)}{n+1}=0 \implies f(c)=0$ .

Así obtenemos, $\exists$ $c \in [0,1]$ tal que $f(c)=0$ .

Sabemos que " Si $f(x)$ es no negativo y continuo en un intervalo $[a,b]$ & si $\exists$ una constante $c \in (a,b)$ tal que $f(c)\gt 0$ entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx\gt 0$ .

Para este problema, $f^{2}(x)$ es no negativo y continuo en $[a,b]$ & $\exists$ $c \in [0,1]$ tal que $f(c)=0$ . A partir de esto podemos decir que $\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx=0 $ ?

En caso afirmativo, no hay nada que cuestionar y, en caso negativo, ¿cómo podemos resolver este problema?

Answer 1

Pista: Teorema de aproximación de Weierstrass.

1. De $\int_0^1x^n\,f(x)\,dx=0$ deducir $\int_0^1f(x)\,P(x)\,dx=0$ para cualquier polinomio $P$ .
2. Dado $\epsilon>0$ existe un polinomio $P$ tal que $\sup_{0\le x\le1}|f(x)-P(x)|\le\epsilon$ .
3. \begin{align}\int_0^1f^2(x)\,dx&=\int_0^1f(x)(f(x)-P(x))\,dx+\int_0^1f(x)\,P(x)\,dx\\ &\le\int_0^1|f(x)|\,|(f(x)-P(x))|\,dx\\ &\le\Bigl(\sup_{0\le x\le1}|f(x)|\Bigr)\,\epsilon. \end{align}