Solución numérica de una ecuación funcional

Question

Sea $z>0$ arreglarse. Consideremos la función $p_a: \mathbb R^2_+\to\mathbb R_+$ dado como $$ p_a(t,x):=\frac{1}{\sqrt{2\pi N_a(t)}}\left[\exp\left(-\frac{(x-z)^2}{2N_a(t)}\right)-\exp\left(-\frac{(x+z)^2}{2N_a(t)}\right)\right], $$ donde $N_a:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ se define por

$$N_a(t):=\int_0^t\frac{ds}{(1+a(s))^2}$$

et $a:\mathbb R_+\to [0,1]$ es una función medible. Puedo demostrar que existe una única función $a^*$ (que también es decreciente) a la ecuación

$$a^*(t)=\int_0^\infty p_{a^*}(t,x)dx\equiv \text{Erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2N_{a^*}(t)}}\right),\quad \forall t>0,$$

donde $\text{Erf}$ es la función de error de Gauss ( https://en.wikipedia.org/wiki/Error_function ). ¿Existe un esquema numérico (eficiente) para calcular/aproximar $a^*$ ?

Answer 1

$\newcommand\erf{\operatorname{erf}}\newcommand\R{\mathbb R}$ La ecuación funcional en cuestión es \begin{equation*} a=F(a) \tag{1}\label{1} \end{equation*} en $(0,\infty)$ donde $a$ está en el conjunto convexo cerrado, digamos $A$ de todas las funciones no crecientes de $(0,\infty)$ a $[0,1]$ con norma $\|\cdot\|:=\|\cdot\|_\infty$ y \begin{equation*} F(a)(t):=\erf\frac{z}{\sqrt{2N_a(t)}} \end{equation*} de verdad $t>0$ .

Para cualquier $a\in A$ cualquier función $h$ de $[0,\infty)$ a $\R$ tal que $a+uh\in A$ para todo lo suficientemente pequeño $u>0$ y todos esos $u$ , dejemos que $g_{a,h}(u):=F(a+uh)$ . Entonces para todo real $t>0$ \begin{equation*} g'_{a,h}(0+):=\lim_{u\downarrow0}\frac{g_{a,h}(u)-g_{a,h}(0)}u \\ =\frac2{\sqrt\pi}\,\exp\Big(-\frac{z^2}{2N_a(t)}\Big) \frac{-z}{2\sqrt2\,N_a(t)^{3/2}} \int_0^t\frac{-2ds\,h(s)}{(1+a(s))^3} \end{equation*} y $\big|\int_0^t\frac{-2ds\,h(s)}{(1+a(s))^3}\big|\le2N_a(t)\|h\|$ , de modo que, con $y:=\frac z{\sqrt{2\,N_a(t)}}>0$ \begin{equation*} |g'_{a,h}(0+)|\le\frac2{\sqrt\pi}\,e^{-y^2}y\,\|h\|\le r\|h\|, \end{equation*} donde $r:=\sqrt{\frac2{\pi e}}\in(0,1)$ . Así, el mapa $F$ es una contracción. Por lo tanto, hay una solución única $a^*\in A$ de \eqref {1}, y las iteraciones $a_{n+1}=F(a_n)$ con cualquier $a_0\in A$ convergen a $a_*$ uniformemente en $(0,\infty)$ .