Para $abc=1$ demostrar que $\sum\limits_\text{cyc}\frac{1}{a+3}\geq\sum\limits_\text{cyc}\frac{a}{a^2+3}$

Question

Sea $a$ , $b$ y $c$ sean números positivos tales que $abc=1$ . Demuéstralo: $$\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}\geq\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3}$$

Lo he intentado con TL, BW, los Teoremas de Vasc y más, pero sin éxito.

¡He demostrado esta desigualdad!

Probé también la versión más dura: $\sum\limits_{cyc}\frac{1}{a+4}\geq\sum\limits_{cyc}\frac{a}{a^2+4}$ .

Gracias a todos.

Answer 1

BW en la siguiente versión no ayuda.

Sea $a=x^3$ , $b=y^3$ y $c=z^3$ .

Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}\frac{1}{x^3+3xyz}\geq\sum_{cyc}\frac{x^3}{x^6+3x^2y^2z^2}$$ o $$\sum_{cyc}\frac{1}{x^3+3xyz}\geq\sum_{cyc}\frac{x}{x^4+3y^2z^2}.$$

Ahora, podemos suponer que $x=\min\{x,y,z\}$ , $y=x+u$ y $z=x+v$

y estas sustituciones dan desigualdades, que no sé demostrar.

¡Pero podemos usar otro BW!

Sea $a=\frac{y}{x}$ , $b=\frac{z}{y}$ y $c=\frac{x}{z}$ donde $x$ , $y$ y $z$ son positivos.

Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}\frac{x}{3x+y}\geq\sum_{cyc}\frac{xy}{3x^2+y^2}$$ o $$\sum_{cyc}\frac{x^3-x^2y}{(3x+y)(3x^2+y^2)}\geq0.$$ Ahora, dejemos que $x=\min\{x,y,z\}$ , $y=x+u$ y $z=x+v$ .

Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$128(u^2-uv+v^2)x^7+16(16u^3+23u^2v-15uv^2+16v^3)x^6+$$ $$+32(8u^4+27u^3v+12u^2v^2-11uv^3+8v^4)x^5+$$ $$+4(32u^5+193u^4v+266u^3v^2-42u^2v^3-33uv^4+32v^5)x^4+$$ $$+2(8u^6+178u^5v+435u^4v^2+152u^3v^3-99u^2v^4+30uv^5+8v^6)x^3+$$ $$+uv(45u^5+375u^4v+291u^3v^2-83u^2v^3+57uv^4+3v^5)x^2+$$ $$+2u^2v^2(24u^4+66u^3v-18u^2v^2+13uv^3+3v^4)x+$$ $$+u^3v^3(18u^3-6u^2v+3uv^2+v^3)\geq0,$$ lo cual es obvio.

¡Hecho!