Demuestre mediante el teorema de Gauss-Bonnet que $\mathbb{S}^2$ y $\mathbb{T}^2$ no son difeomórficas

Question

Demuestre, utilizando el teorema de Gauss-Bonnet, que $\mathbb{S}^2$ y $\mathbb{T}^2$ no son difeomorfas.

Encuentro este ejercicio un poco extraño, ya que por $\chi(\mathbb{S}^2)\neq \chi(\mathbb{T}^2)$ obviamente tenemos que $\mathbb{S}^2$ y $\mathbb{T}^2$ no son homeomorfos y sobre todo porque cualquier difeomorfismo sería un homeomorfismo, no un difeomorfismo. Sin embargo, como sugiere el ejercicio, termino con el resultado de que la curvatura gaussiana de $\mathbb{S}^2$ y $\mathbb{T}^2$ son diferentes. Pero, ¿cómo puedo concluir que no son difeomorfos? Quiero decir que si uso el Teorema Egregio, tenemos que no puede haber una isometría, sin embargo no todo difeomorfismo es una isometría.

Answer 1

Si $F : S^2\rightarrow (T^2,g)$ es un difeomorfismo, entonces tenemos $F^\ast g$ es una métrica en $S^2$

Tenga en cuenta que $\int_{T^2 } K(g)\ dVol_g =2\pi \chi (T^2)$ Aquí el primer término es invariante bajo isometría Así que $$ \int_{T^2 } K(g)\ dVol_g = \int_{S^2 } K(F^\ast g) \ dVol_{F^\ast g} =2\pi \chi (S^2)$$ Por lo tanto, tenemos una contradicción