¿Existe una teoría de homotopías de espacios simplemente conexos no basados?

Question

Si $\mathcal C$ y $\mathcal D$ son dos categorías equipadas cada una con una clase de morfismos llamados equivalencias débiles, entonces por equivalencia de teorías de homotopía entenderé functores $F:\mathcal C\to \mathcal D$ y $G:\mathcal D\to\mathcal C$ tal que cada una de las composiciones $G\circ F$ y $F\circ G$ está relacionado con el funtor de identidad pertinente mediante un zigzag de equivalencias débiles naturales. Esto es mucho más fuerte que exigir $F$ y $G$ para inducir equivalencias inversas de categorías de homotopía: Por ejemplo $\mathcal C$ sea la categoría de complejos encadenados sobre un campo con cuasi-isomorfismos como equivalencias débiles y $\mathcal D$ la subcategoría de complejos con mapa límite cero. ( $F$ es el functor de homología y $G$ es la inclusión). Se puede ver que esto no da una equivalencia de categorías de homotopía, porque si lo hiciera entonces también daría una equivalencia de categorías de homotopía de $I$ -diagramas para cualquier $I$ . Por supuesto, si $\mathcal C$ y $\mathcal D$ son categorías modelo, entonces una equivalencia de Quillen da una equivalencia en el sentido al que me refiero (después de restringir a categorías de objetos fibro-cofibrantes). Pero veamos esta noción más simple.

Esto pretende ser una mejora de mi pregunta anterior ¿Cuándo importan los puntos base en la teoría de homotopías? . Estuve tentado de borrar esta última, pero decidí dejarla en pie por su posible valor educativo y como peluquería para mí mismo. Sugiero seriamente que nadie vote a favor de esta pregunta sin votar en contra de aquella.

Consideremos la categoría de espacios simplemente conectados (a.k.a. $1$ -es decir, los que tienen exactamente una componente de camino y un grupo fundamental trivial) y mapas continuos. Podemos invertir universalmente las equivalencias homotópicas débiles y obtener lo que podríamos llamar la categoría homotópica de $1$ -espacios conectados. Puede describirse como una subcategoría completa de la categoría de homotopía asociada a la estructura del modelo de Quillen sobre $Top$ . Alternativamente, puede describirse como la categoría cuyos objetos son $1$ -conectado $CW$ y cuyos morfismos son clases homotópicas de mapas. Nótese que aquí utilizo espacios y mapas no basados.

PREGUNTA 1: ¿Existe una equivalencia de teorías de homotopía en el sentido definido anteriormente entre $1$ -y (los objetos fibrantes-cofibrantes de) alguna categoría modelo.

Otro buen ejemplo de un funtor que induce una equivalencia de categorías homotópicas pero NO una equivalencia de teorías homotópicas es el funtor olvidadizo de basado $1$ -espacios conectados a unbased $1$ -espacios conectados. La afirmación positiva sólo significa que todo mapa no basado entre espacios basados $1$ -es homotópico a un mapa basado, y que dos mapas basados son homotópicos basados si son homotópicos. La afirmación negativa puede demostrarse utilizando lo que dije antes sobre las categorías de diagramas; por ejemplo, se puede obtener una contradicción eligiendo una acción de un grupo sobre un $1$ -tal que el conjunto de puntos fijos de homotopía esté vacío.

La categoría de $1$ -espacios basados conectados es equivalente en este sentido a una categoría modelo. Se puede colocalizar la categoría de espacios basados. La idea principal es la siguiente: En la categoría de espacios basados cada objeto tiene un universal $1$ -objeto conectado sobre él. Como prueba de que la respuesta a la pregunta anterior es "no", obsérvese que la afirmación de la última frase es falsa para unbased $1$ -espacios conectados. Más pruebas: una respuesta afirmativa parecería conducir a una teoría razonable de los límites y colímites de homotopía dentro de espacios no basados. $1$ -espacios conectados. ¿Cómo podría ser? En el entorno basado, hocolim es hocolim usual y holim es el espacio de cobertura universal del componente de punto base de holim usual.

Todas las afirmaciones, preguntas y sugerencias anteriores sobre $1$ -tienen análogos en los que la equivalencia homotópica débil se sustituye por la equivalencia racional. Versión de Sullivan de la teoría de homotopía racional muestra que la teoría de la $1$ -de tipo finito es equivalente a la opuesta de $1$ -(álgebras diferenciales graduadas) conmutativas de tipo finito. Supongo que esto se puede utilizar para ver que la teoría de (unbased) $1$ -es equivalente a la de $1$ -DGC conmutativas conectadas (álgebras diferenciales graduadas). La versión de Quillen ofrece una ruta alternativa, pero con puntos de base: una cadena de equivalencias de Quillen entre basados $1$ -espacios conectados y $1$ -(es decir, coaugmentadas) conmutativas DGC (differential graded coalgebras).

PREGUNTA 2: Suponiendo que la respuesta a la P1 sea "no", ¿tiene algún buen punto de vista que ofrecer con respecto a esta compensación entre la artificialidad de trabajar con objetos basados y la inquietante falta de (co)límites de homotopía en el entorno no basado?

Answer 1

Me parece que la respuesta a (1) es "no", esencialmente por la razón que has dado. Si $\mathcal{C}$ es una categoría con equivalencias débiles $W$ se puede extraer de forma simplificada categoría enriquecida $\mathcal{C}[W^{-1}]$ utilizando la localización de Dwyer-Kan, por ejemplo. Si esta categoría sencillamente enriquecida procede de una categoría modelo, entonces tiene coproductos de homotopía. Es decir, para cada par de objetos $X$ y $Y$ hay otro objeto $Z$ y un par de mapas $X \rightarrow Z \leftarrow Y$ con la siguiente propiedad: para cada objeto $W$ el mapa inducido Hom(Z,W) $\rightarrow$ Hom(X,W) $\times$ Hom(Y,W) es una equivalencia homotópica débil de conjuntos simpliciales. La categoría simplicialmente enriquecida de complejos CW simplemente conexos no las tiene: por ejemplo, no hay coproducto homotópico de un punto consigo mismo.

En cuanto a $(2)$ no tienes colímitos homotópicos arbitrarios, pero sí muchos. Por ejemplo, tienes todos los colímites de homotopía indexados por diagramas con nervio simplemente conectado. Esto incluye colímitos filtrados, realizaciones geométricas de objetos simpliciales, y la formación de pushouts. Esto es suficiente para permitir algunas técnicas útiles: por ejemplo, puedes escribir cada espacio simplemente conexo como una realización geométrica de un espacio simplicial simplemente conexo, cada término del cual es un ramillete de $2$ -esferas.