Separación y paradoja de Russell

Question

Sólo quiero estar seguro de que entiendo la conexión entre "Comprensión ingenua", el axioma de separación, la paradoja de Russell y la existencia de un conjunto universal. ¿Es correcto lo siguiente?

El axioma de comprensión ingenua tiene como ejemplo lo siguiente: $$ \exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow z\notin z) $$ Esto implica:

y es un elemento de y sólo en caso de que y no sea un elemento de y (donde "por si acaso" significa "si")

lo cual es una contradicción.

Por el contrario, el Axioma de Separación tiene como instancia lo siguiente:

$$ \forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow (z\in x\land z\notin z)). $$

La suposición de que y es un elemento de y lleva a la contradicción. Pero la suposición de que y no es un elemento de y sólo implica que y no es un elemento de x. Por lo tanto, hemos demostrado que para cada conjunto, y, hay otro que no está en él - a saber, y mismo. Es decir, no existe un conjunto universal.

¿Es correcto?

Answer 1

La paradoja de Russell puede verse, en presencia de separación como el siguiente teorema:

Para cada conjunto $A$ existe un conjunto $B$ tal que $B\subseteq A$ y $B\notin A$ .

El teorema no significa necesariamente que $A=B$ . Pero te dice que no hay un conjunto universal.

Es coherente con la separación (y con la mayoría de los demás axiomas estándar de las matemáticas) que exista un conjunto $A=\{A\}$ . En esa situación, el conjunto obtenido por la paradoja de Russell sería $\varnothing$ y de hecho $\varnothing\notin A$ . También es posible que un conjunto $X=\{X,\varnothing\}$ y le dejo a usted la tarea de averiguar qué subconjunto de $X$ no es un elemento de $X$ .

Answer 2

Casi correcto, pero no del todo: todo va bien, hasta la antepenúltima frase: $$ \text{"So, we have shown that for every set, $ y $, there is another not in it -- namely, $ y $ itself."} $$

No $y$ se construye a partir de $x$ utilizando la separación. Lo que podemos mostrar es:

Para cada conjunto $x$ existe un conjunto $y$ t $$\forall x\exists y\, y\notin x.\tag{*}$$

Tenemos este caso de Separación: $$ \forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow (z\in x\land z\notin z)). \tag{$ SepInst $} $$

Dado $x$ hay algo de $y$ tal que $$\forall z(z\in y\leftrightarrow (z\in x\land z\notin z)). $$ En particular, esto es válido para $z = y$ : $$y\in y\leftrightarrow (y\in x\land y\notin y)).\tag{$ SepInst_{x,y} $} $$

Si $y\in y$ entonces por ( $SepInst_{x,y}$ ) tenemos $y\notin y$ . En $(p\to\neg p)\to \neg p$ es una tautología, se deduce que $y\notin y$ .

Por lo tanto, podemos concluir ahora que $y$ no es el conjunto universal. Pero eso no justifica la conclusión de que ningún conjunto lo contiene todo: $y$ no es "arbitraria".

Ahora bien, si $y\in x$ entonces el lado derecho de ( $SepInst_{x,y}$ ) se cumple, y podemos deducir que el lado izquierdo también se cumple, es decir, $y\in y$ que ya hemos demostrado que es falsa. Así que $y\notin x$ después de todo. $\,\square$

Observe que desplazando la negación interior en (*) hacia fuera, a través de los cuantificadores, se obtiene la frase lógicamente equivalente $\neg\exists x\forall y\, y\in x$ que expresa claramente que "no existe un conjunto universal".