Si $|\tau|=2$ y $\sigma\tau\sigma=\tau$ en $S_8$ ¿cuál es el orden posible de $\sigma$ ?

Question

Consideremos $S_8$ el grupo simétrico de todas las permutaciones de los símbolos $\{1, 2, ..., 8\}$ de orden $8!$ . Y dado que para algunos $\tau\in S_8$ de orden 2, existe $\sigma\in S_8$ tal que $\sigma\tau\sigma=\tau$ retenciones.

¿Cuáles son las posibles opciones de $|\sigma|$ ?

Tenga en cuenta que aquí $|\theta|$ denota el orden de la permutación $\theta\in S_n$ .

Mi intento: Si $\sigma$ y $\tau$ sean permutaciones disjuntas significadas por $\tau$ y $\sigma$ ningún símbolo común de $\{1, 2, ..., 8\}$ luego se desplazan. De modo que obtendremos $\sigma\tau\sigma=\tau$ es decir $\tau\sigma^2=\tau$ es decir $\sigma^2=\varepsilon$ que muestra que $\sigma$ debe ser una permutación de orden 1 ó 2. Hemos terminado en este caso.

Pero ¿y si $\sigma$ y $\tau$ comparten alguna entrada/símbolo común?

¿Entonces? ¿Qué hacer?

Answer 1

Desde $\tau=\tau^{-1}$ por lo que podemos reescribir $\sigma\tau\sigma=\tau$ como $\tau \sigma \tau^{-1}=\sigma^{-1}$ . Por lo tanto, queremos que los $\sigma$ que al conjugarse con $\tau$ dé $\sigma^{-1}$ . Obsérvese que en la representación de ciclos disjuntos de $\sigma$ y $\sigma^{-1}$ no sólo la estructura del ciclo sigue siendo la misma, sino que los símbolos dentro de cada ciclo también serán los mismos (excepto en el orden).

Sea $\tau=(ij)$ .

1. Si $i,j$ no están en ninguno de los ciclos de la representación de ciclos disjuntos de $\sigma$ entonces $\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma$ . En cuyo caso tendremos $\sigma=\sigma^{-1}$ . Así $|\sigma|=1 \text{ or }2$ .

2. Si sólo uno de $i$ o $j$ está en la representación de ciclos disjuntos de $\sigma$ entonces la permutación resultante $\tau\sigma\tau^{-1} \neq \sigma^{-1}$ porque $i$ se sustituirá por $j$ o viceversa y el conjugado de $\sigma$ ya no tendrán los mismos símbolos en la estructura del ciclo.

3. Así que ambos $i,j$ debe estar en la representación de ciclos disjuntos de $\sigma$ .

4. Pero si $i$ y $j$ estaban en diferentes ciclos de la representación de ciclos disjuntos de $\sigma$ entonces también en la conjugación cambiarán los símbolos del ciclo y ya no podrá ser igual a $\sigma^{-1}$ .

5. Así que ambos $i,j$ tienen que estar en el mismo ciclo de la representación de ciclos disjuntos de $\sigma$ . Si ese ciclo tiene longitud $\geq 4$ entonces mediante el intercambio de $i$ con $j$ ya no dará lugar a la estructura de ciclo que posiblemente pueda dar $\alpha^{-1}$ . Por lo tanto ese ciclo sólo puede ser de longitud $2$ o $3$ . El caso de la longitud $2$ se pueden solucionar fácilmente. Consideremos el ciclo de longitud $3$ . Si es de la forma $( i k j)$ después de la acción de $\tau$ mediante conjugación se convertirá en $(jki)$ que es la inversa de $(ijk)$ . Ahora todos los demás ciclos de la representación de ciclos disjuntos de $\sigma$ no puede tener una longitud superior a $2$ (porque si lo fueran entonces al conjugarse por $\tau$ permanecerán inalterados y, por tanto, no podrán darnos $\sigma^{-1}$ . Así, el orden de tal $\sigma$ sólo puede ser $3$ o $6$ .

Así $|\sigma|=1,2,3,6$ .

Answer 2

Dado $\tau^2=1$ . Entonces $\sigma\tau\sigma=\tau$ es equivalente a $\sigma\tau\sigma\tau=1$ es decir $(\sigma\tau)^2=1$ .

En los grupos diedros de orden $2n$ tenemos una situación en la que $r$ y $sr$ son ambas reflexiones, y entonces $s$ es una rotación, cuyos órdenes posibles son $n$ o sus divisores.

Así, podemos pensar en qué grupos diedros se pueden incrustar en $S_8$ . La respuesta es: los grupos diedros de orden $16,14,...,6$ (y por supuesto $4,2$ ) pueden incrustarse en $S_8$ .

Entonces por tomar $\sigma$ ser rotación de máximo orden en los grupos diedrales (considerados como subgrupo de $S_8$ ) podemos ver que los órdenes de estos $\sigma$ son $\frac{16}{2}=8, \frac{14}{2}=7,\cdots, 1$ .

Así, $1,2,...,8$ se encuentran entre los posibles órdenes de $\sigma$ .

Creo, que estos son los únicos órdenes posibles: ya que, un grupo finito generado por dos elementos de orden $2$ es diedro. (ver estos enlaces 1 y 2 ).

Avísame si alguna parte no está clara.