$H_c^n(X\times \Bbb R;G)$ es isomorfo a $H_c^{n-1}(X;G)$

Question

Estoy intentando $H_c^n(X\times \Bbb R;G)$ es isomorfo a $H_c^{n-1}(X;G)$ para todos $n$ . Aquí $H_c^n(X;G)$ es sólo $n$ -cohomología con soporte compacto.

Al principio traté de encontrar una versión compacta compatible para la fórmula Kunneth, pero rápidamente renuncié a esto. Luego traté de probar esto eligiendo algún subconjunto compacto específico y ver qué pasa con el límite, pero todavía no llegar a ninguna parte. ¿Podría alguien darme una pista? Gracias.

Answer 1

Solución parcial: En $X$ es un $G$ -orientable, la afirmación es una consecuencia bastante fácil de la dualidad general de Poincaré. Supongamos que $X$ tiene dimensión $k$ para que $X\times \Bbb R$ tiene dimensión $k+1$ . A continuación, dos aplicaciones de PD dan como resultado

$H^n_c(X\times \Bbb R;G)\cong H_{k+1-n}(X\times \Bbb R; G)\cong H_{k+1-n}(X; G)\cong H^{n-1}_c(X; G)$ .