¿Puede alguien ayudarme comprobando mi solución? ¿Existe una solución más corta y elegante (estoy casi seguro de que se puede expresar de alguna manera)? $f$ utilizando $|\hat{g}|^2$ + constante, vi a alguien hacerlo en pocas manipulaciones fáciles pero nunca fui capaz de reproducirlo yo mismo)
$f,g \in R(T)$ (funciones periódicas integrables con período $2\pi$ ) tal que $\hat{f} \cdot n^{2/3} = \hat{g}$ demostrar que $f$ converge absolutamente.
$$(S_{N}f)(t) = \sum\limits_{n=-N}^N \hat{g}(n) \cdot \frac{e^{int}}{n^{2/3}}$$
$$|\hat{g'(n)}|^2 = n^2|\hat{g(n)}|^2$$
$$\sum n^2|\hat{g}(n)|^2 < \infty$$
$$|\hat{g(n)}| = |\hat{g(n)}| \cdot n \cdot \frac{1}{n} \le \frac{1}{2} \cdot(|\hat{g(n)}|^2n^2 + \frac{1}{n^2})\cdot n$$
la última Desigualdad sólo significa Desigualdad. Ahora por fin
$$\sum|\hat{g(n)}| \le \frac{1}{2}\cdot \sum n^2|\hat{g(n)}|^2 + |\hat{g(0)}| + \frac{\pi^2}{6} < \infty$$
así que
$$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}|\hat{g}(n)| < \infty$$
además $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}|\frac{e^{int}}{n^{2/3}}| = 0$ ahora podemos utilizar la prueba de dirichlet para la convergencia de series de funciones para terminar la prueba.
¿Es correcto?
Estoy casi seguro de que se puede resolver expresando $f$ con $(\hat{g}(n))^2$ y, a continuación, utilizando el teorema de Parseval para demostrar que la serie converge .
