Cómo resolver límites con $\tan$

Question

Con este $\tan 2x$ encima, no se me ocurre ninguna forma de solucionarlo.

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2x}{x-\frac{\pi}{2}}$$

Entonces, ¿tiene solución y cómo?

Lo que se me ha ocurrido hasta ahora:

$$\begin{align} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2x}{x-\frac{\pi}{2}} \\ =\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2x}{4x-2\pi} \end{align}$$

Answer 1

Sea $y=x-\frac{\pi}2$ . Entonces $2x=2y+\pi$

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2x}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{y\to0}\frac{\tan(2y+\pi)}y=\lim_{y\to0}\frac{\tan 2y}y=2\lim_{y\to0}\frac{\tan 2y}{2y}\;.$$

Es un límite que deberías conocer o ser capaz de calcular con bastante facilidad.

(Por supuesto, también puedes utilizar la regla de l'Hospital, que funciona fácilmente en este límite).

Answer 2

Usa la regla de L'Hôpital. $$\begin{align} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2x}{x-\frac{\pi}{2}} &= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} 2\sec^2 2x \\ &= 2 \end{align}$$