Actualmente estoy buscando en las siguientes dos preguntas:
i) Considerar la posibilidad de $V = Z(I) \subset \mathbb A_k^3$ donde $I$ es generado por $X_1^3 - X_3$$X_2^2-X_3$. Encontrar los puntos en los que se $V$ es singular y calcular las dimensiones de la tangente espacios de allí.
ii) Determinar los puntos singulares de la superficie de la $Y$ $\mathbb P^3$ definida por el polinomio $X_1X_2^2 - X_3^3 \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]$ y calcular las dimensiones de la tangente espacios de allí.
Ahora debo estado de las definiciones que tengo.
Para un afín variedad $X = Z(f_1, \ldots, f_r) \subset \mathbb A_k^n$ y un punto de $p \in X$, podemos definir el espacio de la tangente de $X$ $p$ $T_pX = \mathrm{Der}(k[X], \mathrm{ev}_p)$ donde $\mathrm{Der}(A,\phi)$ denota el espacio de derivaciones $A \to k$ centrada en $\phi$.
Esto puede ser demostrado ser equivalente a $T_pX = \mathrm{ker} \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(p) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(p) \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ \frac{\partial f_r}{\partial x_1}(p) & \ldots & \frac{\partial f_r}{\partial x_n}(p) \end{pmatrix}: k^n \to k^r$.
Para $X$ un arbitrario variedad, definimos $T_pX = T_pU$ donde $U$ es cualquier afín a abrir barrio de $p$ (esto puede ser demostrado ser bien definido).
Si $X$ es una irreductible variedad, definir $\mathrm{dim}(X) = \mathrm{min} \{ \mathrm{dim} \ T_pX \ | \ p \in X \}$.
Si $X$ es irreductible e $k$ es algebraicamente cerrado, decir $p \in X$ es un suave punto de si $\mathrm{dim} \ T_pX = \mathrm{dim} X$, e decir $p$ es singular lo contrario.
Para la pregunta i), viendo como mi definición de singular sólo se aplica a las variedades irreducibles, yo mejor espectáculo $V$ es de hecho irreductible. No estoy seguro de lo fácil que es - realmente no puedo detectar cómo hacerlo. Con algunas conjeturas, yo diría que la $k[V] \cong k[x^2, x^3]$, que está claramente en la integral de dominio por lo $V$ es irreducible, pero no estoy seguro de los detalles. Ahora vamos a escribir la correspondiente matriz:
$\begin{pmatrix} 3p_1^2 & 0 & -1 \\ 0 & 2p_2 & -1 \end{pmatrix}$ donde $p = (p_1, p_2, p_3)$. Tenemos los puntos de $p = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{2}, p_3)$ donde el rango es $2$ es decir $\mathrm{dim}T_p X = 1$. El rango puede, obviamente, nunca se $3$, por lo que tenemos que $\mathrm{dim}X = 1$. Así que los puntos singulares son aquellos para los que el rango es 1. Eso es cierto, precisamente por los puntos de $\{ (0,0,t) \ | \ t \in k \}$.
Para la pregunta ii), también estoy seguro. De nuevo, ¿por qué la superficie de la $Y$ irreductible? Ahora no estoy seguro de cómo lidiar con el hecho de que estamos en el espacio proyectivo, entonces, ¿qué estoy escribiendo desde ahora en adelante puede ser un completo sinsentido. Tenemos el estándar afín abra la cubierta $\mathbb P^3 = U_0 \cup \ldots \cup U_3$, y es obvio que $Y \cap U_0 \neq \emptyset$. Así que si la primera coordenada de $p$ es distinto de cero, podemos usar la definición de arriba para averiguar $T_pY = T_p (Y\cap U_0)$. Si la primera coordenada es cero, voy a preocupar de eso más tarde. Así que ahora estamos suponiendo que la primera coordenada de $p$ no es cero, y estamos viviendo en (irreducible si $Y$ es) afín espacio. El "afín" (de-homogeneizadas) el polinomio correspondiente a $X_1 X_2^2 - X_3^3$ es sólo $xy^2 - z^3 \in k[x,y,z]$. Ahora hay un lema que dice que si $f \in k[x_1, \ldots , x_n]$ es primo, entonces $\mathrm{dim} Z(f) = n - 1$. Voy a asumir que nuestros polinomio es primo (no sé qué más hacer, así que bien podría comprobar más tarde). Así que los puntos singulares son aquellos para los cuales $\mathrm{dim} T_p (Y \cap U_0) = 3$, que son, precisamente, aquellos cuyas derivadas parciales de todos desaparecen. Estos son los puntos a $\{ (t,0,0) \ | \ t \in k^\times \}$, y la tangente de espacios, todos tienen dimensión 3. Ahora me pongo a pensar, si la primera coordenada de $p$ 0 todo parece romper, así que vamos a dejar la respuesta allí.
Agradezco enormemente el esfuerzo que se necesita para vadear a través de este potencial tonterías. Mi método es muy largo aliento; no sé si he perdido el punto en algún lugar, o si las definiciones que estoy usando son malos, o si esto realmente es cómo ir sobre la solución de estos problemas. Estoy especialmente inseguro en mi respuesta a ii).
Gracias.
