Truco algebraico para mapear $|z|<2$

Question

Supongamos que queremos encontrar la imagen de la región $|z|<1$ según la correspondencia $w=\frac z{z+1}$ . Desde $z=\frac{-w}{w-1}$ (y asumiendo $w= u+iv$ ) deberíamos tener $\left|\frac w{w-1}\right|=\left|\frac{u(u-1)+v^2-iv}{(u-1)^2+v^2}\right|<1$ o equivalentemente

$$u^2(u-1)^2+v^4+2v^2u(u-1)+v^2<(u-1)^4+v^4+2v^2(u-1)^2.$$

Ahora podemos utilizar el siguiente truco algebraico para escribir

$$(u-1+1)^2(u-1)^2+2v^2(u-1+1)(u-1)+v^2<(u-1)^4+2v^2(u-1)^2$$

lo que implica que

$$(u-1)^2+2(u-1)(u-1)^2+2v^2(u-1)+v^2<0$$

o

$$((u-1)^2+v^2))(2u-1)<0.$$

Así, la imagen sería $2u-1<0$ .

Ahora me pregunto si existe algún truco algebraico similar para $|z|<2$ . En este caso tenemos

$$u^2(u-1)^2+v^4+2v^2u(u-1)+v^2<4(u-1)^4+4v^4+8v^2(u-1)^2$$

He probado métodos similares pero no he conseguido nada útil. ¿Alguien podría ayudarme en este caso? Gracias.

Answer 1

La función $f(z)={z\over1+z}$ es una transformación de Möbius, por lo que lleva líneas y círculos a líneas y círculos. Evidentemente, lleva el eje real al eje real. Dado que $f(-1)=\infty,$ f debe tomar el círculo $|z|=2$ a un círculo. Ahora bien, las transformaciones de Möbius son conformes, por lo que como el eje real y el círculo $|z|=2$ son ortogonales, sus imágenes deben ser ortogonales, es decir que el centro de $f(|z|=2)$ debe estar en el eje real. Como $f(2)=\frac23, f(-2)=2$ vemos que la imagen de $|z|=2$ es $|z-4/3|=2/3.$

Ahora sabemos que $f$ mapas $|z|<2$ ya sea al interior o al exterior de $|z-4/3|=2/3.$ Desde $f(0) = 0,$ debe ser el exterior. Por tanto, la imagen es la región $|z-4/3|>2/3.$

Answer 2

La misma historia con diferentes palabras. Escribe la función de esta manera:

$$f(z) = {z+1-1\over z+1} = 1- {1\over z+1}$$

Esta función es una composición de las siguientes funciones $$z\mapsto z+1,$$ $$z\mapsto {1\over z},$$ $$z\mapsto -z$$ y finalmente $$z\mapsto 1+z$$ El primero mueve región $R_1:\; |z|<1$ por uno a la izquierda así que obtenemos $R_2:\; |z+1|<2$ . El segundo invierte $R_2$ accros $0$ a $R_3:\; |z+{1\over 3}|>{2\over 3}$ . La tercera transformación sólo refleja esta región en / sobre sí mismo, y finalmente la última transformación sólo se mueven $R_3$ a la derecha para 1 en $|z-{2\over 3}|>{2\over 3}$

Answer 3

Para una demostración algebraica directa, comience de la misma manera que en el primer caso con $\,z = \dfrac{w}{1-w}\,$ entonces:

$$\begin{align} |z| \lt 2 \quad&\iff\quad |w|^2 \lt 4 \cdot|1-w|^2 \\ &\iff\quad w \bar w \lt 4 \cdot(1-w)(1-\bar w) \\ &\iff\quad 3 w \bar w - 4 w - 4 \bar w \color{red}{+\frac{16}{3}-\frac{16}{3}} + 4 \gt 0 \\ &\iff\quad 3\left(w-\frac{4}{3}\right)\left(\bar w-\frac{4}{3}\right) \gt \frac{4}{3} \\ &\iff\quad \left|w-\frac{4}{3}\right|^2 \gt \frac{4}{9} \\[5px] &\iff\quad \left|w-\frac{4}{3}\right| \gt \frac{2}{3} \end{align}$$

Por lo tanto la imagen es el exterior del círculo de radio $\,2/3\,$ centrado en $\,4/3\,$ .

( _Geométricamente, el lugar geométrico de los puntos del plano con relación constante $\,\left|\frac{w}{w-1}\right| = 2\,$ entre las distancias a los dos puntos fijos $\,0, 1\,$ es un círculo de Apolonio teniendo como diámetro los puntos que dividen el segmento entre $\,0\,$ y $\,1\,$ en proporción $\,2:1\,$ interna y, respectivamente, externamente. En este caso los extremos de ese diámetro son $\,2/3$ y $\,2\,$ por lo que el círculo está centrado en $\,(2+2/3)/2=4/3\,$ y tiene un radio $\,(2-2/3)/2=2/3\,$ que es, por supuesto, la misma que la encontrada anteriormente._ )