cohomología de Rham con soporte compacto isomorfa a $\mathbb{R}$

Question

En $k$ -con soporte compacto se define como $$H_c^k(M)=\frac{Z_c^k(M)}{B_c^k(M)}$$ donde $Z_c^k(M)$ es el espacio vectorial de todos los cerrado $k$ -formas con soporte compacto en $M$ y $B_c^k(M)$ es el espacio vectorial de todos los $k$ -forma $d\eta$ donde $\eta$ es un $(k-1)$ -forma con soporte compacto en $M$ . Introducción a la geometría diferencial establece que para una variedad orientable conexa $M$ (Creo que $M$ se considera como con $\partial M=\emptyset$ ) tenemos $$H_c^n(M)\simeq \mathbb{R} \quad \quad \quad (*)$$ Luego dice que esta afirmación es equivalente a otras dos, que enumero a continuación:

1. Dado un $\omega$ tal que $\int_M\omega\neq0$ para cualquier $\omega'$ n-forma con soporte compacto existe un número real $\lambda$ tal que $\omega' - \lambda \omega$ es exacto (no se menciona, pero supongo que ambos $\omega$ y $\omega'$ se supone que están cerrados)

2. Una forma cerrada $\omega$ es el diferencial de otra forma con soporte compacto si $\int_M \omega=0$

Quería demostrar esto (la equivalencia de estas afirmaciones), pero no veo cómo es cierto.

Cualquier ayuda es bienvenida

Gracias de antemano

Answer 1

En primer lugar, hay un error en su afirmación (1): debería decir $\omega'-\lambda\omega$ es exacta, no $\omega-\lambda\omega'$ . (También, $n$ debería ser presumiblemente el mismo que el $k$ que menciona en otro lugar, la dimensión de $M$ .)

Ahora existe un mapa lineal $I:H^k_c(M)\to\mathbb{R}$ que asigna $[\omega]$ a $\int_M\omega$ (nótese que está bien definida porque la integral de una forma exacta es $0$ ). Dado que existe una $k$ -con integral distinta de cero, $I$ es suryectiva. Dado que $\mathbb{R}$ es un espacio vectorial unidimensional, las siguientes son entonces equivalentes:

• (a) $I$ es un isomorfismo.
• (b) $H^k_c(M)$ es unidimensional, es decir $H^k_c(M)\cong \mathbb{R}$
• (c) $\ker I$ es trivial.

Pero (c) es exactamente igual que su afirmación (2), ya que un elemento de $\ker I$ es $[\omega]$ tal que $\int\omega=0$ y decir $[\omega]=0$ significa que $\omega$ es el diferencial de una forma con soporte compacto. Y por supuesto (b) es lo mismo que tu afirmación (*).

Queda por demostrar que su afirmación (1) también es equivalente a las demás. Obsérvese en primer lugar que (1) dice exactamente que $[\omega]$ abarca $H^k_c(M)$ ya que dice que para cualquier $[\omega']\in H^k_c(M)$ existe algún escalar $\lambda$ tal que $[\omega']=[\omega]$ . Por tanto, (1) implica $H^k_c(M)$ es unidimensional. A la inversa, supongamos la afirmación (2). Fijemos $\omega$ tal que $\int_M \omega\neq 0$ y tomar cualquier otro $\omega'$ y que $\lambda=\frac{\int_M\omega'}{\int_M\omega}$ . Entonces $\int_M \omega'-\lambda\omega=0$ Así que $\omega'-\lambda\omega$ es exacta.