Aclaraciones sobre $dN_p$ : ¿Qué significa $dN_p$ ¿realmente lo hace?

Question

Estoy leyendo el libro de Geometría Diferencial de Do Carmo. Tengo dos preguntas:

• Pregunta 1:

Habla del vector tangente a la curva de coordenadas $(u'(0),v'(0),0)$ y $dN_p$ envía este vector a $(2u'(0),-2v'(0),0)$ . Pero aquí dice que $N'(0)=(2u'(0),-2v'(0),0)$$ es el vector tangente. Estoy un poco confuso: ¿Son ambos vectores tangentes?

---

• Pregunta 2:

¿Qué significa $dN_p$ ¿lo hace? ¿Envía $(x\circ \alpha(t))_t$ a $(N\circ \alpha(t))_t$ ?

---

• Pregunta 3:

¿Cómo calcula los valores propios? Im mi mente, tendríamos que computarlo así . Es decir, hallar la matriz de la transformación lineal, etc. ¿Está haciendo eso sin mostrar los detalles o hay alguna forma alternativa de hacerlo?

Answer 1

A continuación llamaré $S$ la superficie que estamos estudiando y $\Bbb S^2$ la esfera unitaria bidimensional.

1. $N'(0)$ es el vector tangente a la curva $N\circ \alpha \colon I \to \Bbb S^2$ en $t=0$ (esta curva vive en la esfera bidimensional). No es un vector tangente a la superficie $S$ .

2. $N\colon S \to \Bbb S^2$ es un mapa diferenciable de una superficie a la esfera bidimensional. Por lo tanto, tiene un diferencial (o un mapa tangente lineal) $dN \colon TS \to T\Bbb S^2$ . Se trata de una colección de mapas lineales $dN_p \colon T_pS \to T_{N(p)}\Bbb S^2$ . Si $p\in S$ es fijo, $dN_p$ envía un vector $X\in T_pS$ tangente a $S$ en $p$ a un vector $dN_p(X) \in T_{N(p)}\Bbb S^2$ tangente a $\Bbb S^2$ en el punto $N(p)$ .

3. Las reglas de la cadena dicen que puedes calcular $N_p(X)$ eligiendo una curva $\alpha\colon I\to S$ satisfaciendo $\alpha(0) = p$ y $\alpha'(0)=X$ porque entonces $$ (N\circ \alpha)'(0) = dN_{\alpha(0)}(\alpha'(0)) = dN_p(X). $$ Ahora arreglar $p=(0,0,0)$ . Tras identificar $T_pS$ ans $T_{N(p)}\Bbb S^2$ (que seguramente se ha justificado antes en el libro), los cálculos dirigidos por do Carmo muestran que en las coordenadas ambientales, $dN_p$ es el mapa lineal $$ \begin{array}{r|ccc} dN_p \colon & T_pS & \longrightarrow & T_pS \\ & (x,y,0) & \longmapsto & (2x,-2y,0). \end{array} $$ (Recordemos que $T_pS$ es el subespacio lineal de $\Bbb R^3$ dado por $z=0$ ). Es un endomorfismo del espacio bidimensional $T_pS$ y es evidente que su matriz en la base $\{(1,0,0),(0,1,0)\}$ viene dada por $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ . Por lo tanto, sus valores propios son obviamente $2$ y $-2$ .