El número entero más pequeño $x$ s.t. $x! \equiv 0 \pmod {216}$

Question

Adivinando y comprobando he encontrado $x$ ser $9$ pero, ¿hay alguna forma más general de resolverlo?

Answer 1

Tenga en cuenta que $216 = 6^3 = 2^3 \cdot 3^3$ Así que $n!$ debe ser divisible por $3$ tres veces. En particular, $n$ no puede ser inferior a $9$ ya que $3$ y $6$ son los únicos múltiplos de $3$ menos de $9$ aportando sólo dos factores de tres.

Answer 2

216 es $6^3=2^33^3$

Entonces, necesitamos el primer número por el que tenemos 3 ocurrencias del número 3, y 3 del número 2. Tenemos 3 ocurrencias de 2 por 4, tenemos tres ocurrencias de 3 por 9, así que la respuesta es 9.