¿Existen axiomas que impliquen ZFC?

Question

La pregunta es sencilla: ¿sabemos si hay colecciones de axiomas no triviales más fuertes que (implican pero no están implicadas por) $ZFC$ ?

Para aclarar lo que quiero decir: ¿Conocemos alguna forma de sustituir los axiomas de ZFC por otros axiomas que no se parezcan a ZFC y tales que, juntos, impliquen ZFC, pero ninguno de los cuales esté implicado por ZFC?

Para ser aún más claro de lo que constituye una respuesta para mí, supongamos que podemos inventar 5 nuevos axiomas de tal manera que a partir de estos podemos demostrar los 8 axiomas de ZFC, pero a partir de los axiomas de ZFC no podemos demostrar ninguno de estos 5 nuevos axiomas.

Answer 1

Sea P una proposición independiente de ZFC, y para cada axioma A de ZFC, sustitúyase por "A y P".

No es lo que quieres, pero no creo que seas capaz de formular una pregunta muy bien definida sobre lo que quieres.

Answer 2

Creo que Teoría de conjuntos de Morse-Kelly puede satisfacer sus necesidades. Aunque comparte algunos axiomas con ZFC, cada teoría contiene axiomas que la otra no contiene, por lo que MK no es simplemente ZFC + algún otro axioma, y MK es una teoría de segundo orden (conjuntos y clases) mientras que ZFC es sólo de primer orden (sólo conjuntos). Y lo que es más importante, MK es una extensión propia de ZFC, en otras palabras $MK \vdash Con(ZFC)$ pero no al revés.

He tenido poca experiencia con MK yo mismo, así que estoy seguro de que otros pueden opinar sobre más detalles, pero esto artículo tiene un resumen muy bien escrito de la afirmación anterior y algunas consecuencias. Por ejemplo, señala que ZFC + "existe un cardinal inaccesible". $\vdash Con(MK)$ por lo que MK no es "mucho" más fuerte que ZFC.