Encuentra el $\angle FPA$ en la figura siguiente

Question

Como referencia: A partir de un punto $P$ fuera de un círculo la tangente $PA$ y la secante $PQL$ se dibujan. Luego se unen $L$ con el punto medio $M$ de $PA$ . LM interseca en F a la circunferencia. Calcular $\angle FPA$ si $\overset{\LARGE{\frown}}{QF}=72^o$

Mi progreso:

$\angle FAP = \theta=\angle ALM$ (ángulos alternos)

$\triangle AOF$ (isósceles) $\implies \angle OAF = \angle AFO=90-\theta$

$\angle AOF = 2\theta$

¿No veo las otras relaciones?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\angle PLM = 36^\circ$

También usando power of point $M$ , $~MA^2 = MF \cdot ML = PM^2$

$$ \implies \frac{PM}{FM} = \frac{ML}{PM}$$

y dado $\angle PML$ es habitual, $$\triangle PLM \sim \triangle FPM~~ \text {(by S-A-S rule)}$$

Eso lleva a $~\angle FPM = \angle PLM = 36^\circ$

Answer 2

En la figura el círculo S es la circunferencia del triángulo APF. AQ es perpendicular al radio AS. En el círculo S el ángulo APF es opuesto al arco AF, la medida del arco AF es $72^o$ porque es opuesto al ángulo QAF y tenemos:

$\angle QAF=\frac {72}2=36^o \Rightarrow \overset{\large\frown}{AF}=72^o$

y QA es tangente a la circunferencia S en el vértice A.

Así que la medida del ángulo APF es:

$\angle APF= \frac{72}2=36^o$