Cómo comprobar la diferenciabilidad de esta función.

Question

Pregunta:

Sea $\text{f(x) = max{1-x, 1+x, 2}}$ . Demostrar que $f(x)$ es continua en todos los puntos pero no diferenciable en $x = 1$ y $x = -1$ .

Duda:

He comprobado la continuidad de esta función y he encontrado con éxito que es continua en todos los puntos.

Para la diferenciabilidad, en $x=1$ calculé la derivada derecha e izquierda usando..: $$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a\pm h)-f(a)}{\pm h}.$$

Para $Rf'(1)$ el valor de $f(1+h)$ será $\text{1+1+h}$ como $\text{1+x}$ es el máximo en este caso. Al resolver, obtengo $Rf'(1)=1$ .

Para $Lf'(1)$ el valor de $f(1-h)$ será $\text{2}$ ya que en este caso es el máximo. Al resolver, obtengo $Lf'(1)=\lim_{h\to0}\frac{2-2}{h}$ .

El caso es similar con $\text{-1}$ .

Pero para $\text{x=0}$ Estoy recibiendo tanto, Derecha e Izquierda derivada similar a $\lim_{h\to0}\frac{2-2}{h}$ . Pero según la pregunta, la función es no diferenciable sólo en $\text{x=-1,1}$ .

Por favor, ayuda.

Answer 1

En $x=0$ las derivadas derecha e izquierda son ambas iguales a $0$ ya que $f(x)$ es idénticamente igual a $2$ en un barrio de $x=0$ . Entonces la función es diferenciable con derivada $0$ en $x=0$ .

Edición: Un cálculo más explícito

Por definición, $f'(0)$ existe si y sólo si $$ \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} $$ existe. En el caso de que el límite anterior exista, es exactamente la derivada de $f$ en $x=0$ .

Ahora tenga en cuenta que estamos tomando $h$ a cero; en particular, podemos suponer que $|h|<\frac{1}{2}$ . En este caso, es fácil ver $1+h<2$ y $1-h<2$ por lo que tendremos $f(h)=2$ por la definición de $f$ . Así pues, tenemos $$ f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2-2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=0 $$

Answer 2

Prefiero dibujar esta función primero, luego Es fácil ver cuando la función es continua en todos los puntos, pero no diferenciable en $x=\pm1$

cuando estés en $$x \to 1^+ \to f(x)=max(1-x.1+x,2)=1+x\\x \to 1^- \to f(x)=max(1-x.1+x,2)=2\\x \to (-1)^+ \to f(x)=max(1-x.1+x,2)=2\\ x \to (-1)^- \to f(x)=max(1-x.1+x,2)=1-x$$ Ahora es fácil escribir sobre $x=\pm 1$ condición