Resolver el límite sustituyendo una serie de potencias

Question

No entiendo por qué estoy recibiendo 2 y el libro de texto dice que es -2.

$$\lim_{x\to 0} \frac{1-e^x}{\sqrt{1+x}-1}$$

He sustituido la serie de potencia por $e^x$ y $(1+x)^{1/2}$ luego se deshizo del $1$ en la parte superior e inferior tomando la $P_0(x)$ de ambas series de potencias.

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k!}}{\sum_{k=1}^{\infty}\binom{1/2}{k}x^k}$$

Luego tomó $P_1(x)$ por arriba y por abajo. Creo que mi error está aquí. No entiendo si puedo tomar $P_2(x)$ de la serie así y modificar la serie. $$\lim_{x\to 0} \frac{x + \frac{x^2}{2}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k-2}}{k!}2}{\frac{1}{2}x-\frac{x^2}{8}\sum_{k=2}^{\infty}\binom{1/2}{k}x^{k-2}}$$

Entonces dividí todo por $x$ y subbed $0$ para el resto $x$ que me llevó a $\frac{1}{2}$

Answer 1

En $x \gt 0$ el numerador es negativo y el denominador positivo. Cuando $x \lt 0$ el numerador es positivo y el denominador negativo. Esto significa que el límite debe ser menor que cero. Al pasar de la primera ecuación a la segunda has perdido el signo negativo del $e^x$ .

Answer 2

El problema podría resolverse mucho más fácilmente si se utiliza la regla de L'Hopital para los límites. El límite está en una $0/0$ forma tan $$ \lim_{x\to 0} \frac{1-e^{x}}{\sqrt{1+x}-1}=\lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}(1-e^{x})}{\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x}-1)}=\lim_{x\to 0} \frac{-e^{x}}{\frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}}=-2 $$