Utilizar la conectividad para demostrar la subjetividad...

Question

$\textbf{My problem:}$ Sea $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una contracción y $\phi :\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R^2}$ definido por $\phi (x,y)=(x+f(y),y+f(x))$ . Demostrar que $\phi (\mathbb{R^2} )=\mathbb{R^2}.$

$\textbf{My attempt:}$ Pensé que para demostrar que $\phi (\mathbb{R^2} )$ es un subconjunto abierto y cerrado de $\mathbb{R^2} $ . Entonces, porque $\mathbb{R^2} $ está conectada, podemos concluir la prueba. Sin embargo, no lo he conseguido...

¿Podría alguien ayudarme, por favor?...

Answer 1

Sea $(x,y)\in\mathbb R^2$ y que

$$g: u \mapsto x - f\left(y-f(u)\right)$$

\begin{align} \left|g(u) - g(v)\right|& = \left|x-f(y-f(u)) - x + f(y-f(v))\right|\\ &= \left|f(y-f(u))-f(y-f(v))\right|\\ &\le k\left|y-f(u) - y + f(v)\right|\\ &=k\left|f(u)-f(v)\right|\\ &\le k^2|u-v|. \end{align}

Esto demuestra que $g$ es una contracción de $\mathbb R$ . Sea $s$ sea un punto fijo de $g$ y $t=y-f(s)$ entonces \begin{align}\phi(s,t) &= (s+f(t), t+f(s))\\ &= (g(s) + f(y-f(s)), y-f(s) + f(s))\\ &= (x - f(y-f(s)) + f(y-f(s)), y)\\ &= (x,y)\end{align} .