Propiedad aditiva de la entropía de Von Neumann

Question

$\newcommand\ket[1]{|#1\rangle}$ $\newcommand\bra[1]{\langle #1|}$ $\newcommand\mean[1]{\langle #1\rangle}$

Consideremos un estado entrelazado $\mathcal{H} = \mathcal{H_1}\otimes\mathcal{H_2}$ . En este estado, se define el operador de densidad $\rho$ como $\rho=\sum_i\rho_i\ket{i}\bra{i}$ . Es un resultado bien conocido que el valor medio de $A_1\otimes\mathcal{I}_2$ (donde $\mathcal{I}_2$ es la identidad en $\mathcal{H}_2$ ) vendría dada por \begin{equation} \mean{\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{I}_2} = \mathrm{Tr}\left[\rho\left(\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{I}_2\right)\right] = \mean{\mathcal{A}_1}_{\rho_1} = \mathrm{Tr}_{\mathcal{H}_1}\left[\rho_1\mathcal{A}_1\right] \end{equation} donde $\rho_1 = \mathrm{Tr}_{\mathcal{H}_2}\rho$ es el matriz de densidad reducida en el subsistema $\mathcal{H}_1$ y $\mathrm{Tr}_{\mathcal{H}_i}$ es la traza parcial sobre el espacio de Hilbert $\mathcal{H}_i$ . Consideremos $\rho_1$ y $\rho_2$ .

Se define la entropía de Von Neumann como \begin{equation} S(\rho) = -\mathrm{Tr}\left[\rho \log\rho\right] \end{equation} Una de las muchas propiedades de esta entropía es que - para cualquier estado enredado, $S(\rho_1\otimes\rho_2) = S(\rho_1)+S(\rho_2)$ .

Lo he demostrado de la siguiente manera. Defino ${\ket{1:\alpha,2:a}}$ como base de $\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$ . En esta base, se escribe \begin{align} S(\rho_1\otimes\rho_2) = - \mathrm{Tr}\left[\rho_1\otimes\rho_2\; ln\left(\rho_1\otimes\rho_2\right)\right] &= -\sum_{\alpha,a}\bra{1:\alpha,2:a}\rho_1\otimes\rho_2\ket{1:\alpha,2:a}\log(\rho_1\otimes\rho_2)\\ \end{align} Utilizo ahora el hecho de que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos: $\log(a b) = \log(a)+\log(b)$ . ¿Puedo generalizar esto al producto tensorial de dos estados? Utilizando esta propiedad, encuentro que \begin{equation} S(\rho_1\otimes\rho_2) = -\sum_\alpha \bra{1:\alpha}\rho_1\ket{1:\alpha} + \left(-\sum_\beta \bra{2:a}\rho_2\ket{2:a}\log(\rho_2)\right) = S(\rho_1)+S(\rho_2) \end{equation} Es como hacer trampas, pero parece a trabajar. ¿Alguna idea?

Además, tengo problemas para interpretar este resultado. Gracias por sus comentarios.

Answer 1

Observaciones sobre sus cálculos $\newcommand{Tr}{\operatorname{Tr}}$

\begin{align} S(\rho_1\otimes\rho_2) = - \mathrm{Tr}\left[\rho_1\otimes\rho_2\; ln\left(\rho_1\otimes\rho_2\right)\right] &= -\sum_{\alpha,a}\langle 1:\alpha,2:a|\rho_1\otimes\rho_2|1:\alpha,2:a\rangle\log(\rho_1\otimes\rho_2)\\ \end{align} Utilizo ahora el hecho de que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos: $\log(a b) = \log(a)+\log(b)$ . ¿Puedo generalizar esto al producto tensorial de dos estados?

La última igualdad no tiene sentido, ya que $\log(\rho_1\otimes \rho_2)$ es un operador : debe ir antes del ket (véanse mis cálculos más abajo).

Dado un operador hermitiano $\hat \Lambda$ y una función $f$ podemos defina $f(\Lambda)$ de la siguiente manera: si $|i\rangle$ es una base ortonormal tal que $\hat\Lambda|i\rangle = \lambda_i|i\rangle$ entonces defina $f(\lambda)$ como el operador lineal tal que : $$f(\hat\Lambda) |i\rangle = f(\lambda_i) |i\rangle$$

Desde $f(\lambda) = \lambda \log(\lambda)$ está bien definida en $[0,+\infty)$ (estableciendo $f(0) = 0$ podemos definir $\hat \Lambda \log \hat \Lambda$ si $\hat \Lambda$ es semidefinida positiva (lo que es cierto para las matrices de densidad).

Utilización de bases de vectores propios

Sea $|i\rangle_1$ y $|x\rangle_2$ sean bases ortonormales de vectores propios de $\rho_1$ y $\rho_2$ respectivamente, con : $$\rho_1 |i\rangle_1 = p_i|i\rangle_1 \qquad \text{and}\qquad \rho_2|x\rangle_2 = q_x |x \rangle_2$$

Entonces, $|i\rangle_1 \otimes |x\rangle_2$ es una base de $\mathcal H_1\otimes \mathcal H_2$ por lo que podemos utilizarlo para calcular la traza : \begin{align} S(\rho_1\otimes \rho_2) &= -\Tr(\rho \log\rho) \\ &= -\sum_{i,x}\langle i|_1 \otimes \langle x|_2(\rho_1\otimes \rho_2\log(\rho_1\otimes \rho_2)) |i\rangle_1\otimes |x\rangle_2 \\ &= -\sum_{i,x} p_i q_x \log (p_i q_x) \\ \end{align} A partir de este punto, sólo tratamos con números reales, por lo que obtenemos : \begin{align} S(\rho_1\otimes \rho_2) &= -\sum_{i} p_i \log (p_i)-\sum_{x} q_x \log ( q_x) \\ &= S(\rho_1) + S(\rho_2) \end{align}

¿Qué es la $\log( \hat A\otimes \hat B)$ ?

En los pasos intermedios del cálculo anterior, demostramos que si $\hat A$ y $\hat B$ son operadores hermitianos definidos positivos sobre $\mathcal H_1$ y $\mathcal H_2$ entonces : $$\log (\hat A \otimes \hat B) = \log(\hat A)\otimes \mathbb I_2 + \mathbb I_1 \otimes\log(\hat B) $$

donde $\mathbb I_1$ y $\mathbb I_2$ son los operadores de identidad en $\mathcal H_1$ y $\mathcal H_2$ .

Con esta fórmula, podemos volver a hacer los cálculos directamente, sin utilizar una base : \begin{align} S(\rho_1\otimes \rho_2) &= -\Tr(\rho_1\otimes \rho_2 \log(\rho_1 \otimes \rho_2) )\\ &= -\Tr(\rho_1\otimes \rho_2 \cdot( \log(\rho_1) \otimes \mathbb I_2 + \mathbb I_1 \otimes \log \rho_2) )\\ &= -\Tr ( (\rho_1 \log \rho_1) \otimes \rho_2 + \rho_1 \otimes (\rho_2 \log \rho_2)) \\ &= -\Tr ( \rho_1 \log \rho_1))\Tr( \rho_2) - \Tr(\rho_1)\Tr(\rho_2 \log \rho_2)) \\ &= S(\rho_1) + S(\rho_2) \end{align}