Sea $u$ sea una solución del problema de Poisson en $U$ . Definir conjuntos abiertos $U_n=\{x\in U: |x-y|>1/n , y \in\partial U\}$ . Sea $T_n$ sea la primera hora de salida de $U_n$ . En $\frac 12 \Delta u(x)=-g(x)$ para todos $x\in U$ . A partir de la fórmula multidimensional de Ito, obtenemos $$ u(B_{t\land T_n})=u(B_0)+\sum_{i=1}^d\int_0^{t\land T_n}\frac{\partial u}{\partial x_i}(B_s)dB_i(s)-\int_0^{t\land T_n} g(B_s)ds $$ ¿Por qué la expectativa del segundo término es cero? Es decir $$ E[\int_0^{t\land T_n}\frac{\partial u}{\partial x_i}(B_s)dB_i(s)]=0 $$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se deduce porque la integral de un proceso predecible con respecto al movimiento browniano es una martingala local, y en este caso podemos demostrar que es de hecho una martingala verdadera. Sabemos que $\frac{\partial u}{\partial x_i}$ es continua en $\overline U_n$ y puesto que $U_n$ está acotado sabemos que $\frac{\partial u}{\partial x_i}$ también está limitada en $\overline U_n$ . Por definición de $T_n$ tenemos que $B_s \in U_n$ para $s \le T_n$ Así que $\frac{\partial u}{\partial x_i}(B_s)$ está acotado para $s \le T_n$ . Como estamos integrando hasta el tiempo $t \wedge T_n$ estamos integrando un proceso acotado en un intervalo de tiempo acotado y, por tanto, la integral estocástica es una martingala real.
