Martingala en $L^2$ igualdad, williams, probabilidad con martingala p111

Question

Me confunde cómo la igualdad de (e) puede deducirse de (f) y (d) . Estaba pensando en aplicar el lema inverso de Fatou, pero (f) no me cuadra. ¿Alguna idea?

Answer 1

He aquí una forma de verlo. Deja que $M'_\infty$ sea el $\mathcal L^2$ límite de $M_n.$ Utilización de la $\mathcal L^2$ desigualdad triangular en el $r\to\infty$ límite de (d) da (e) con $M'_\infty$ en lugar de $M_\infty$ e igualdad en lugar de desigualdad. Pero (f) dice $M_\infty=M'_\infty$ como elemento de $\mathcal L^2.$