¿Un tipo rígido de estructura que se puede poner en cada sistema?

Question

Llamada de un tipo de estructura rígida si cualquier automorphism de una estructura de este tipo es una identidad. (Este es un poco diferente a la de otros usos de la palabra, pero espero ser perdonado.) Por ejemplo, bien ordenamientos son rígidos. De ello se desprende que, asumiendo el axioma de elección, no es un tipo rígido de la estructura (es decir, un buen orden) de tal manera que cualquier conjunto puede ser equipado con que tipo de estructura, no de manera única, por supuesto).

Ahora el axioma de elección no es necesario que esa conclusión. Extensional y bien fundada de las relaciones también son rígidos, y el axioma de fundación implica que cualquier conjunto inyecta en una extensional y bien fundada relación (su clausura transitiva). Aczel el axioma de anti-fundación también basta, ya fuertemente extensional de las relaciones también son rígidos, y anti-fundación implica que cualquier conjunto inyecta en dicha relación. Pero ni la fundación, ni en contra de la fundación, los miembros de la relación de $\in$ no tiene por qué ser rígido. Por ejemplo, el conjunto {a,b}, donde a={a} y b={b} son desiguales mal fundada conjuntos con el mismo número de miembros de árbol, tiene un nonidentity $\in$-automorphism que se intercambia a y b.

Ahora mi pregunta: Si no asumimos elección o de cualquier tipo de fundamento, no hay todavía existe una rígida tipo de estructura con la propiedad de que cualquier conjunto puede ser equipado con que tipo de estructura?

Edit: por supuesto, como Steven señala en los comentarios, yo no he dicho exactamente lo que quiero decir por "tipo de estructura." Estoy usando la palabra "estructura" en el Bourbaki sentido, no en el sentido de las cosas, la estructura de la propiedad. Aquí es una manera de hacer esta pregunta precisa: ¿existe una teoría en el orden superior de la lógica rígida, en el sentido de que cualquier automorphism de uno de sus modelos es el de la identidad, y en el que se admite una definibles por el functor para Establecer que es esencialmente surjective?

Answer 1

Entiendo la pregunta en términos de la rigidez de las estructuras de primer orden, es decir, cada conjunto de admitir de una estructura de primer orden que es rígido?

No como la prueba, pero Sí, cada conjunto tiene una estructura rígida, si permite arbitraria de primer orden idiomas. Para suponer que B es un conjunto. Para cada elemento b de B, vamos a presentar una de primer orden predicado unario U_b, que tiene exactamente en el b y en ningún otro punto. Podemos dotar a B como una estructura de primer orden mediante la inclusión de todos estos predicados en el lenguaje, de modo que la estructura es (B,{U_b}_{b, B}). Cada elemento de B es claramente definible en este lenguaje, ya que b es el único objeto x tal que U_b(x). Por lo tanto, esta estructura es rígida. Y el argumento no usa el Axioma de Elección ni de la Fundación.

La objeción obvia aquí es que este no es un lenguaje finito; no es nada como un fin, que es lo que tenía en mente. En este caso, sugiero que la pregunta que realmente debería ser: ¿cada conjunto tienen un binario de relación, de tal manera que esta relación hace que el conjunto en una rígida estructura de primer orden? Bajo el Axioma de Elección, la respuesta va a ser que sí, ya que el conjunto estará disponible. Sin AC, no estoy seguro. Sospecho que esto es una especie de principio de elección.

No veo cómo la Fundación de verdad figuras en la pregunta. Si bien es cierto en virtud de la Fundación que cada transitvive conjunto es rígido, lo que si el conjunto original no es transitiva? No podemos realmente considerar el cierre transitivo de la serie original como la imposición de una estructura de primer orden en ese conjunto, ya que es la adición de puntos en lugar de relaciones.

Answer 2

Esto no completamente responder a la pregunta, pero creo que es relevante.

Teorema: sea T y W, las teorías de orden superior de la lógica (por lo que me significa el tipo interno de la teoría asociada a la primaria topoi), donde W tiene un determinado objeto subyacente X (es decir, consideramos que un modelo de W como un objeto X equipado con algunas cosas adicionales). Entonces no es el caso que ambos (1) T demuestra que W es rígido (como la estructura en X) y (2) en cualquier topos de la satisfacción de T, cada objeto puede ser equipado con W-estructura.

Prueba: Supongamos que tanto las condiciones dadas espera. Vamos a C[T,X] ser el libre topos en la teoría T y un objeto adicional de X, y dejar que C[T,W] ser el libre topos en T y W. (Recordar que para cualquier teoría de la S y cualquier topos E, la categoría de Registro(C[S],E), de la lógica functors y natural isomorphisms de C[S] E es equivalente a la categoría de modelos de S y sus isomorphisms en E.) Ahora el modelo genérico de W en C[T,W] tiene un objeto subyacente, dando un functor lógico C[T,X]→C[T,T]. Y C[T,X] satisface T, por supuesto, su objeto genérico X puede ser equipado con W-estructura; por lo tanto también tenemos un functor lógico C[T,T]→C[T,X], y el compuesto C[T,X]→C[T,T]→C[T,X] es isomorfo a la identidad. En otras palabras, C[T,X] es un pseudo-retirar de C[T,T]. Ahora vamos a E ser cualquier otro topos de satisfacciones T e y cualquier objeto de la E de admitir a un nonidentity automorphism (tales como Y=1+1); entonces tenemos un functor lógico C[T,X]→E envío de X a Y, que a su vez tiene un nonidentity automorphism. Pero, debido a que C[T,X]→C[T,T]→C[T,X] es la identidad, este functor C[T,X]→E deben factor a través del C[T,T], y ya T demuestra que W es rígido, cualquier automorphism de este functor debe ser la identidad, una contradicción. ∎

Esto significa que si usted desea una rígida tipo de estructura que se puede poner en cada juego, usted necesita usar más acerca de los conjuntos de que el hecho de que la forma primaria, topos, o incluso un Booleano topos con un NNO, o cualquier propiedad adicional de que puede ser expresado como una teoría T en HOL. Tenga en cuenta que AC, aunque puede ser formulada como un "categórica" la propiedad no se refiere directamente a ∈ (cada surjection splits), no puede ser expresado como una teoría en HOL, ya que implica una cuantificación más de todos los conjuntos. De la misma manera por el "topos de la teoría de la axioma de fundación" que cada conjunto inyecta en algunos fundada extensional relación. Así que la pregunta es, ¿qué podemos hacer con el resto de los no-HOL axiomas de ZF, es decir, básicamente la sustitución y (sus consecuencias) sin límites de separación.

Answer 3

Más en cada conjunto de admitir una rígida relación binaria?, Me mostró que, al menos para los conjuntos de reales, hay una respuesta afirmativa. Es decir, cada conjunto de reales admite una rígida relación binaria, con un argumento que no usa el Axioma de Elección, ni la Fundación (y no hacer uso de cualquier hereditaria bien fundado de la estructura de los reales, por lo que sería aplicable incluso si usted concebido de números como urelements).

Pero no está claro para mí cómo generalizar esto a los mayores conjuntos.