Hahn-Banach sin elección

Question

La prueba estándar del teorema de Hahn-Banach utiliza el lema de Zorn. He oído que, sin embargo, Hahn-Banach es estrictamente más débil que Choice. Una búsqueda rápida me lleva a muchas fuentes que afirman que Hahn-Banach puede demostrarse utilizando el teorema del ultrafiltro, pero no consigo encontrar una demostración real. Así que...

1. Qué es el teorema del ultrafiltro; y
2. ¿Cómo implica dicho teorema al teorema de Hahn-Banach?

Cualquier referencia de fácil acceso sería suficiente; ¡gracias de antemano!

Answer 1

El teorema del ultrafiltro es la afirmación de que cualquier filtro sobre un conjunto puede convertirse en un ultrafiltro. Quizá sea más común verlo enunciado como el teorema del ideal primo (booleano): Toda álgebra booleana admite un ideal primo.

En realidad, el teorema de Hahn-Banach es equivalente a la afirmación de que toda álgebra booleana admite una medida de valor real, pero esto no es del todo sencillo (véase Luxemburg, "Reduced powers of the real number system and equivalents of the Hahn-Banach extension theorem", Intern. Symp. on the applications of model theory, (1969) 123-127).

Para un análisis de Hahn-Banach frente a la elección y algunas observaciones y referencias adicionales, véase Jech "The axiom of choice", North-Holland, 1973.

También pueden interesarle las referencias que incluyo en esta respuesta .

Answer 2

Un hecho divertido relacionado es que el teorema no lineal de Hahn-Banach (que cada función Lipschitz uno en los reales de un subconjunto de un espacio métrico se puede extender a una función Lipschitz uno en todo el espacio) es demostrable en ZF. Creo que se demuestra así en el libro de Araujo y Gine.

Answer 3

Esto puede ser irrelevante, pero me gustaría señalar que si uno replantea el teorema de Hahn-Banach en el lenguaje de los locales (sustituyendo los espacios topológicos) uno puede deshacerse por completo del axioma de elección y del teorema del ultrafiltro. Véase el artículo " Demostración directa del teorema local de Hahn-Banach "de Thierry Coquand y sus referencias.

Answer 4

Ya que no puedo (todavía) dejar un comentario a la respuesta de Andres Calceido.

Un enlace a otro artículo de Luxemburg con una demostración del Teorema de Hahn-Banach utilizando ultrapotencias https://www.ams.org/bull/1962-68-04/S0002-9904-1962-10824-6/S0002-9904-1962-10824-6.pdf

Answer 5

https://en.wikipedia.org/wiki/Hahn%E2%80%93Banach_theorem#Relation_to_axiom_of_choice ( revisión actual )

A elección implica el teorema de Hahn-Banach de Hahn-Banach. Lo contrario no es cierto. Una manera de verlo es observando que el lema del ultrafiltro, que es estrictamente más débil que el axioma de elección, puede para demostrar el teorema de Hahn-Banach teorema de Hahn-Banach, aunque no ocurre lo mismo a la inversa. a la inversa. El teorema de Hahn-Banach puede puede demostrarse utilizando hipótesis más débiles que el lema del ultrafiltro. Para espacios de Banach separables, Brown y Simpson demostraron que el teorema de Hahn-Banach se deduce de WKL0, un subsistema débil de segundo orden aritmética de segundo orden[5].