Es $R$ una transformación lineal de $\Bbb R^2 $ a $\Bbb R^2$ ?

Question

Pregunta :

Sea $R$ sea la rotación alrededor del origen en el sentido de las agujas del reloj por $\frac{ \pi}{3}$ . Es $R$ una transformación lineal de $\Bbb R^2 $ a $\Bbb R^2$ ? Escribe la matriz correspondiente $Au = R(u)$ . Calcule $R(u)$ con $u=[1,3]$

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Mi enfoque:

$$R(u)=\underbrace{\begin{pmatrix}\cos \theta&\sin \theta\\-\sin \theta &\cos \theta\end{pmatrix}}_{\text { rotation matrix for clockwise direction}}\vec u$$

$$ R \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{pmatrix}\cos \frac{ \pi}{3} &\sin \frac{ \pi}{3}\\-\sin \frac{ \pi}{3} &\cos \frac{ \pi}{3}\end{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 = \vec u_{1} \\ 3 = \vec u_{2} \end{bmatrix} $$

Producto de matrices :

$$ R \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{pmatrix}\cos \frac{ \pi}{3} \cdot 1 ~+&\sin \frac{ \pi}{3} \cdot 3\\-\sin \frac{ \pi}{3} \cdot 1 ~+&\cos \frac{ \pi}{3} \cdot 3\end{pmatrix}$$

$$ \underbrace{R \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}}_{\text{R(u)}}= \underbrace{\begin{pmatrix} \frac{1+3 \sqrt{3}}{2}\\ \frac{3-\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}}_{\text{A x u}} $$

Conclusión :

$R $ es una transformación lineal.

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Creo que entiendo la pregunta, pero tengo dudas sobre la siguiente redacción

- "¿es R una transformación lineal?"

Por favor, ¿podrían validar mi respuesta y explicar un poco el texto?

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Editar :

$ \vec u = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} $ entonces a en el sentido de las agujas del reloj rotación por $\frac{\pi}{2}$ da $\vec w = \begin{bmatrix} x_2\\ -x_1 \end{bmatrix}$

Utilizar la trigonometría:

$$ R(\vec u) = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) ~\vec u + \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)~\vec w$$

Así, una forma general sería :

$$ R(\vec u) = (\cos \theta) ~\vec u + (\sin \theta)~\vec w$$

Utilizando $\theta = \frac{\pi}{3}$ en el sentido de las agujas del reloj :

$$ = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \begin{bmatrix} x_2 \\ -x_1 \end{bmatrix} $$

$$ = \begin{bmatrix} \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot x_1 + \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot x_2\\ \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot x_2 - \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot x_1 \end{bmatrix} $$

Reorganizar :

$$ = \begin{bmatrix} \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot x_1 + \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot x_2\\ - \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot x_1 + \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot x_2 \end{bmatrix} $$

$$ = \begin{bmatrix} \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) & \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ - \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) & \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \end{bmatrix} ~ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} $$

$$ R(\vec u) = \underbrace{\begin{bmatrix} \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) & \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ - \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) & \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \end{bmatrix}}_{\text { rotation matrix}}~ \vec u$$

De ahí que se demuestre que es lineal porque da la forma

$$ R(\vec u) = A \cdot ~\vec u$$

Por último :

$$ \underbrace{R \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}}_{\text{R(u)}}= \underbrace{\begin{pmatrix} \frac{1+3 \sqrt{3}}{2}\\ \frac{3-\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}}_{\text{A x u}} $$

Answer 1

Su planteamiento es correcto para las dos últimas preguntas. Sin embargo, no ha demostrado que $R$ es una transformación lineal. Voy a responder a su pregunta con detalle.

A transformación lineal de un $K$ -espacio vectorial $V$ a otro $K$ -espacio vectorial $W$ es una función $R:V\to W$ tales que se cumplan las dos propiedades siguientes:

1. $R(v+w)=R(v) + R(w)$ para todos $v,w\in V$
2. $R(\lambda v) = \lambda R(v)$ para todos $\lambda\in K$ y $v\in V$

En su caso, para demostrar que $R\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ es una transformación lineal, basta con demostrar que las propiedades 1. y 2. se cumplen con $V,W=\mathbb{R}^2$ , $K=\mathbb{R}$ y vectores arbitrarios $v,w$ (como ha señalado @Salihcyilmaz en un comentario). Si ya ha demostrado que $R(v)=Av$ , entonces dichas propiedades son inmediatas de demostrar, ya que:

1. $R(v+w) = A(v+w) = Av+Aw = R(v)+R(w)$ para dos $v,w\in\mathbb{R}^2$
2. $R(\lambda v) = A(\lambda v) = \lambda Av = \lambda R(v)$ para cualquier $\lambda\in \mathbb{R}$ , $v\in\mathbb{R}^2$

P.D.: Nótese que sólo hemos hecho uso del hecho de que existe una matriz fija $A$ tal que $R(v)=Av$ para todos $v\in\mathbb{R}^2$ . Por lo tanto, cualquier transformación que pueda representarse mediante una matriz (en este sentido) es una transformación lineal.