Demostrar que una función compleja definida como integral es holomorfa

Question

Sea $\gamma:[0,1] \to \mathbb{C}$ ser cualquier $C^1$ curva. Definir $$f(z)=\oint_\gamma \frac{1}{\zeta-z}d\zeta.$$ Demostrar que $f$ es holomorfa en $U=\mathbb{C}-\hat{\gamma}$ donde $\hat{\gamma}=\{ \gamma(t):0\leq t\leq 1 \} .$ En caso de que $\gamma(t)=t,$ muestran que no hay forma de ampliar $f$ a una función continua en todo $\mathbb{C}$ .

Sé que en mi cabeza realmente estamos discutiendo el logaritmo complejo aquí, y en la segunda parte en específico estamos discutiendo, digamos, $Log(\frac{z}{z-1})$ que tiene $[0,1]$ como su corte de rama (no estoy seguro de si estoy utilizando la terminología correctamente aquí). Mis primeras ideas sobre la primera parte son utilizar de algún modo el Teorema de Morera o simplemente la definición de diferenciación, pero no consigo entender los detalles.

Answer 1

Para la segunda parte de la pregunta, si $\gamma(t)=t$ y $z=x+iy$ no está en el eje real positivo, entonces

$f(z)=\oint_\gamma \frac{1}{\zeta-z}d\zeta=\int_{0}^{1}\frac{1}{(t-x)-iy}dt=\int_{0}^{1}\frac{(t-x)+iy}{(t-x)^2+y^2}dt$

$=\int_{0}^{1}\frac{(t-x)}{(t-x)^2+y^2}dt + iy\int_{0}^{1}\frac{1}{(t-x)^2+y^2}dt$

$=(1/2)\int\frac{ds}{s}ds + (i/y)\int_{0}^{1}\frac{1}{[(t-x)/y]^2+1}dt$ para $s=(t-x)^2+y^2$ .

$=(1/2)ln|s|+iarctan((t-x)/y)$ evaluado en el intervalo $[0,1]$ .

Atrás sustituyendo la expresión para $s$ se ve que el número final es

$f(z)=(1/2)ln|1-2x+r^2|-ln|r|+i[arctan((1-x)/y)+arctan(x/y)]$ ,

donde $r^2$ como de costumbre es $x^2 + y^2$ .

Supongamos $f$ se extiende. Tomando $z=cos\tau+isin\tau$ que es una parametrización del círculo unitario, tenemos para $\tau \neq n\pi$ ,

$f(z(\tau))=(1/2)ln|2-2cos\tau|+i[arctan((1-cos\tau)/sin\tau)+arctan(cot\tau)]$ ,

Ahora bien, como creemos que $f$ es continua en todo el $\mathbb{C}$ las funciones correspondientes a sus partes real e imaginaria también se extienden de forma continua sobre $\mathbb{C}$ . En particular, la función

$g(\tau):=Im(f(z(\tau)))= arctan((1-cos\tau)/sin\tau)+arctan(cot\tau)$ ,

donde esta igualdad se mantiene para $\tau \neq n\pi$ se extiende a una función continua de $\tau$ . Pero esto no puede ser ya que el límite de $g$ como $\tau$ se acerca a 0 desde la izquierda es $arctan(-\infty)+arctan(-\infty)=-\pi$ . Por otra parte, el límite como $\tau$ se acerca a 0 desde la derecha es $arctan(\infty)+arctan(\infty)=\pi$ por lo que no hay esperanza de encontrar un valor de $g$ en $\tau=0$ (por lo tanto, de $f$ en $z=1$ ) que hace que esta función sea continua.

Obsérvese que las partes imaginarias difieren en lados opuestos de $\gamma$ por $2\pi$ . Esto es lo esperado.