Energía Potencial Gravitatoria y Puntos Cero

Question

Tengo dos preguntas.

1) La primera tiene que ver con la fórmula para derivar la Energía Potencial Gravitatoria. Aprendí que, para la derivación de la Energía Potencial Gravitatoria dadas grandes distancias, tenemos que usar el método analítico matemático para obtener una expresión para ésta a una distancia dada.

Para hacerlo, necesitas integrar F punto dr desde r hasta el infinito. Sin embargo, lo que no entiendo son los siguientes puntos:

• ¿Por qué necesitamos tomar el punto cero en r = infinito? ¿Por qué no puedo tomarlo desde cualquier punto arbitrario para obtener una expresión general para su EPG cuando integro?

• ¿Por qué el trabajo necesario para empujar un objeto a esa altura es igual a la fuerza debida a la gravedad multiplicada por la distancia? ¿No necesito aplicar una fuerza que supere la fuerza debida a la gravedad para poder alzarlo en primer lugar? Fg * h es definitivamente mayor en magnitud que fg, pero si estoy aplicando trabajo a un objeto igual a Fg * h en la dirección opuesta a donde quiere moverse (hacia el COM del objeto dominante) ¿cómo sé que la magnitud de ese trabajo es suficiente para hacerlo?

Si estuviera tratando de averiguar cuánta energía necesito darle a un objeto para elevarlo de un punto en el espacio a otro relativo, digamos, a la Tierra, podría tomar el cambio de energía entre los dos puntos. Si su energía en su punto inicial es 2 y la energía en el punto donde quiero que esté es 8, necesito suministrarle 6 julios. ¿Pero cómo concilio eso con la derivación del párrafo anterior?

2) La segunda pregunta tiene que ver con los puntos cero para la energía potencial. ¿Esto es permitido porque, mientras la distancia de cada objeto respecto a otro sea la misma sin importar dónde coloque un punto cero, todo se resuelve? Si en el punto A, el objeto 1 está a 2 unidades del punto A y el objeto 2 está a 5 unidades del punto A (todo en, digamos, el eje x), entonces ¿no estoy haciendo trampa al tomar el punto B como la posición del objeto 1 y decir que el objeto 2 está ahora a 3 unidades del punto B, verdad? ¿Su energía potencial cambiaría aquí entonces? Eso está bien porque es todo relativo, ¿verdad? Pero la magnitud cambia, ¿eso está bien?

Answer 1

1) punto 1: No es necesario poner el punto $0$ en el infinito. Dado que es energía potencial, podemos establecerlo en $0$ donde queramos. Esto se debe a que agregar una constante a la energía potencial no cambia la fuerza involucrada (ya que $F=-\frac{dU}{dr}$). La razón por la que tanta gente elige hacer esto es porque generalmente nos interesa un cambio en la energía potencial, en lugar de un valor absoluto de la misma. Si establecemos $U = 0$ en el infinito, las cosas funcionan bien. Por ejemplo, en el caso de la gravedad a grandes escalas, $U=-\frac{Gm_1m_2}{r}$. Esta expresión tiende a $0$ a medida que $r$ tiende a infinito. Por lo tanto, podemos ver $U(r)$ como un cambio en la energía potencial desde el infinito, y no necesitamos hacer un seguimiento de alguna constante arbitraria. El cambio de energía potencial entre dos puntos en el espacio se convierte en $$\Delta U=U(r_2)-U(r_1)=-\frac{Gm_1m_2}{r_2}+\frac{Gm_1m_2}{r_1}$$

Si quisiéramos establecer $U=0$ en otro lugar, entonces siempre tenemos una constante arbitraria siguiéndonos, pero luego desaparece cuando encontramos cambios en la energía potencial. Digamos que $U=0$ en algún punto $r = R_0$. Entonces nuestra función de la energía potencial es $U(r)=-\frac{Gm_1m_2}{r}+\frac{Gm_1m_2}{R_0}$. Esto es perfectamente válido físicamente, pero obtenemos el mismo resultado que antes para el cambio en la energía potencial entre dos puntos en el espacio: $$\Delta U=U(r_2)-U(r_1)=-\frac{Gm_1m_2}{r_2}+\frac{Gm_1m_2}{R_0}+\frac{Gm_1m_2}{r_1}-\frac{Gm_1m_2}{R_0}$$$$\Delta U=-\frac{Gm_1m_2}{r_2}+\frac{Gm_1m_2}{r_1}$$ Por lo tanto, simplemente establecemos $U=0$ en el infinito ya que es lo más fácil de hacer (similar a por qué ponemos la energía potencial en $0$ cuando un resorte está en su estado de reposo).

---

1) punto 2: Así no es como se encuentra el trabajo realizado para empujar algo contra la gravedad en general, pero podemos hacer algunas suposiciones para llegar a donde parece que necesitas estar. En general, el trabajo realizado por cualquier fuerza es $\int \vec F\cdot d \vec r$. Por lo tanto, si empujas el objeto con alguna fuerza, así es como determinas el trabajo realizado por ti mismo si no sabes nada más. Si sabes que las únicas fuerzas que actúan sobre el objeto son la tuya y la gravedad, entonces puedes usar la conservación de la energía como otra forma de obtener el trabajo que has realizado: $$W_{tot}=\Delta K=W_{me}+W_{grav}=W_{me}-\Delta U$$ donde K es la energía cinética. Si el objeto comienza y termina a la misma velocidad, entonces podemos ir más allá: $$W_{me}=\Delta U$$ Y aquí es probablemente donde estás confundido. En el caso en el que estamos cerca de la Tierra, entonces $W_{me}=mg \Delta h$. En el caso en el que estamos más lejos de la Tierra, $W_{me}=-\frac{Gm_1m_2}{r_2}+\frac{Gm_1m_2}{r_1}$. Entonces tu problema podría estar en intentar aplicar el primero (una aproximación) cuando realmente necesitas aplicar el segundo.

---

2) Me siento un poco confundido con la redacción aquí, pero si entiendo lo que estás preguntando, simplemente te estás preguntando si puedes cambiar dónde se define $U=0$. ¡Como ya se ha dicho, esto es perfectamente aceptable! Solo tienes que asegurarte de mantenerte consistente. Los valores absolutos de tus energías potenciales pueden cambiar, siempre y cuando los valores relativos entre puntos permanezcan constantes.

(Nota al margen: Puedes tener problemas si intentas poner $U=0$ en el infinito si tu distribución de masa tampoco es cero en el infinito, pero como solo estamos considerando la gravedad alrededor de la Tierra, deberíamos estar bien)

Answer 2

1a) Tienes que llevarlo desde el infinito para calcular toda la GPE. Si solo lo llevas desde un punto arbitrario, la energía requerida para moverse de ese punto al infinito no se incluirá.
1b) El trabajo realizado es igual a la fuerza neta por la distancia. Cuando un objeto cae, la fuerza neta es g. Cuando un objeto es levantado, la fuerza neta incluirá un término para -g, pero de todas formas puede ser de cualquier magnitud dependiendo del mecanismo utilizado para levantar el objeto. Si se utiliza una gran fuerza, esto superará la GPE e inducirá también energía cinética KE.
Si restas la GPE en dos posiciones, la integración hasta el infinito se cancela entre sí - por lo tanto, en realidad solo puedes integrar de una a otra para obtener un cambio en GPE, un $\delta GPE$
2) Tienes que integrar radialmente en relación al punto de centro de masa, y con la GPE siendo mayor cuanto más lejos esté de la masa, es decir, radialmente hacia afuera. Como imaginaste, no está bien cambiar esto a menos que el centro de masa se mueva.
Estrictamente hablando (para una masa puntual no extendida) el punto de centro de masa no es cero GPE, cero GPE es un punto en el infinito; más bien el punto de centro de masa es un mínimo negativo.