El haz de líneas trivial se proyecta sobre cualquier haz de líneas

Question

Supongamos que $S$ es cualquier esquema sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ . Sea $\mathcal{O}_S$ sea la gavilla estructural de $S$ . Sea $L$ sea un haz de líneas sobre $S$ es decir, es una gavilla localmente libre de rango $1$ en $S$ . ¿Existe siempre una forma de escribir un mapa suryectivo de haces vectoriales $\mathcal{O}_S\to L$ donde $\mathcal{O}_S$ es el haz vectorial trivial de rango $1$ ?

En mi mente, tal cosa debería ser siempre geométricamente posible, "torciendo" la copia de $\mathcal{O}_S$ para que coincida con $L$ . Por supuesto, tal mapa no sería un isomorfismo en general, a menos que $L$ también era trivial. Creo que o estoy diciendo tonterías o lo que quiero es cierto por razones obvias. Cualquier comentario es útil.

Answer 1

No, hay muchos contraejemplos. Cualquier mapa suryectivo de haces de líneas sobre un espacio localmente anillado es un isomorfismo, porque cualquier endomorfismo suryectivo de módulo del módulo regular sobre un anillo local es de hecho un isomorfismo (si $f:R\to R$ es el endomorfismo, entonces $f(r)=r\cdot f(1)$ y si $f(u)=1$ entonces $uf(1)=1$ así que $f$ es la multiplicación por una unidad). Por lo tanto, si $S$ tiene algún haz de líneas no isomorfo a $\mathcal{O}_S$ has encontrado un contraejemplo.