Grupo fundamental de la esfera mediante triangulación

Question

Sé que el grupo fundamental de la esfera es cero, es decir. $\pi(S^2)=0$

Quiero demostrarlo por triangulación, es decir

1. Triangular la esfera
2. Dibujar árbol maximal
3. Dibujar el subespacio contractible máximo
4. Considere los generadores en los restantes 1-símbolos

Esto es lo que ocurrió:

Dibujé la siguiente triangulación:

A continuación, procedí a dibujar el árbol maximal. Pero para incluir todos los vértices, y debido a las identificaciones impuestas, me encontré con que esto era sólo el límite, por lo que no un árbol

Entonces, ¿podemos concluir que, como no podemos llevar a cabo el proceso, el grupo fundamental es cero? Me preguntaba cómo hacer esto formalmente, ¿quizás me estoy perdiendo algún paso?

Muchas gracias

Answer 1

No, cuando consideras el grafo, ¿cómo puede un solo vértice $d$ aparecer tantas veces? En la triangulación estándar de $S^2$ se supone que sólo tienes $4$ vértices de todos modos.

El grupo fundamental está generado por $m_1, m_2, m_3, m_4,m_5, m_6$ . Con las relaciones $m_1 = m_4 = m_5 = 1$ .

Y, para cada triángulo, multiplicación de las aristas del $2$ símplices, es decir, los triángulos del gráfico (según la orientación) son iguales a $1$ .

Por ejemplo, para el triángulo $adb$ tenemos $m_1 m_2 m_3 = 1$ .

Escribe estas relaciones para todos los triángulos y manipula los generadores.

(Por ejemplo, $m_1 = 1$ y $m_1m_2m_3 = 1$ implica $m_2m_3 = 1$ . )

Obtendrás fácilmente que el grupo fundamental tiene que ser trivial.