Transformadas de Laplace Ayuda

Question

Necesito ayuda para encontrar las transformadas de Laplace de $f(x)=x+e^{-x}$ y $g(x)=xe^x$ . Tengo grandes problemas con los cálculos. Gracias.

Answer 1

Recall $F(s)=\int_0^{\infty}{f(t)e^{-st}dt}=\int_0^{\infty}{(t+e^{-t})e^{-st}dt}=\int_0^{\infty}{te^{-st}dt}+\int_0^{\infty}{e^{-t}e^{-st}dt}=\int_0^{\infty}{te^{-st}dt}+\int_0^{\infty}{e^{-t(s+1)}dt}$ Y $G(s)=\int_0^{\infty}{te^{t}e^{-st}dt}=\int_0^{\infty}{te^{-t(s-1)}dt}$

Utiliza la integración por partes para ambos.

Recuerda también que como tenemos integrales impropias acabaremos con límites que son indefinidos, por lo que necesitamos la regla de L'hopital para resolverlos (¡la exponencial siempre gana!....).

EDITAR: Primero haré $\int_0^{\infty}{te^{-st}dt}$ (y luego podemos hacer lo mismo para $s+1$ ).
Sea $$u=t\to{du}=dt,$$ $$dv=e^{-st}dt\to{v}=\frac{e^{-st}}{-s}$$ Así que usando la integración por partes,
$$\int_0^{\infty}{te^{-st}dt}=\lim_{b\to \infty}\int_0^b{te^{-st}dt}=\lim_{b\to \infty}\frac{te^{-st}}{-s}|_0^b-\lim_{b\to \infty}\frac{1}{-s}\int_0^b{e^{-st}dt}$$ $$=\lim_{b\to \infty}\frac{t}{-se^{st}}|_0^b-\lim_{b\to \infty}\frac{e^{-st}}{(-s)^2}|_0^b=\lim_{b\to \infty}\left(\frac{b}{-se^{sb}}-\frac{0}{s}\right)-\lim_{b\to \infty}\left({\frac{1}{s^2e^{sb}}}-\frac{1}{s^2}\right)$$ $$=\lim_{b\to \infty}\frac{b}{se^{sb}}-0-0+\frac{1}{s^2}$$ Porque $$\lim_{b\to \infty}{\frac{b}{-se^{sb}}}=\frac{\infty}{\infty},$$ Podemos utilizar la regla de L'Hopital para obtenerla en la forma $$\lim_{b\to \infty}\frac{1}{s^2e^{st}}=0$$ Finalmente podemos decir que $$\int_0^{\infty}{te^{-st}dt}=\frac{1}{s^2}$$ Desde $s$ es sólo una constante cuando integramos con respecto a $t$ también podemos decir que $$\int_0^{\infty}{te^{-(s-1)t}dt}=\frac{1}{(s-1)^2}$$

Así, podemos ver que $$F(s)=\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s+1}$$ $$G(s)=\frac{1}{(s-1)^2}.$$

Answer 2

Usamos las propiedades de la transformación de Laplace, las puedes encontrar aquí

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

$\displaystyle{ \bullet \quad \mathcal{L} \{x \} = \int_{0}^{+ \infty} e^{-st}t dt = \lim_{a \to + \infty} - \frac{e^{-st}}{s^2} (st+1) \big|_0^a = \cdots = \frac{1}{s^2} }$

$\displaystyle { \bullet \quad \mathcal{ L} \{ e^x \} = \int_{0}^{+ \infty} e^{-st} e^t dt= \lim_{ a \to + \infty} \frac{ e^{(1-s)t}}{1-s} |_0^a = \frac{1}{s-1} }$

Usando las propiedades ahora obtenemos:

$\displaystyle{ \bullet \quad \mathcal{L} \{f \} = \mathcal{ L} \{x+e^{-x} \} =\mathcal{L} \{x\} +\mathcal{L} \{e^{-x} \cdot 1 \} = \frac{1}{s^2} + F(s+1) = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s+1} }$ donde $\displaystyle{ F(s)= \mathcal{L} \{1\} }$

$\displaystyle{ \bullet \mathcal{ L} \{xe^x \} = F(s-1) =\frac{1}{(s-1)^2} }$ donde utilizamos la propiedad de que $\displaystyle{ \mathcal{L} \{ e^{at} f(t) \} = F(s-a) ; F(s)= \mathcal{L} \{f\} }$ . En su caso es $\displaystyle{ F(s)=\mathcal{L} \{t\} } $