He buscado por todo internet y no he visto a nadie que describa realmente con detalle qué tienen los círculos que les confieren las propiedades de pi. Es obvio ver por qué el área de un cuadrado es la longitud lateral al cuadrado (un cuadrado con una longitud lateral de dos tiene 2 filas de dos unidades cuadradas que le dan un área de 4) pero no con los círculos. ¿Por qué pi es el "número mágico" de la circunferencia/diámetro? ¿Por qué se reduce a ese número específico para todos los círculos? Sé que hay otros artículos en esta página sobre esto, pero ninguno de ellos parecía responder a la pregunta. Sólo decían que si giras una rueda todo alrededor recorre pi veces su radio. No explicaban por qué esto era así.
Respuestas
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ManuelSchneid3r
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Gran pregunta Es algo que generalmente se da por sentado (y que a mí me molesta un poco: cuando aprendía geometría, me metía en problemas por preguntar esto).
He aquí una explicación intuitiva. Esto no es un prueba rigurosa obviamente, pero espero que explique lo que está pasando; y con un poco de trabajo se puede convertir en una prueba rigurosa, por lo que no es engañosa.
Digamos que tengo un círculo $O$ de diámetro $d$ y circunferencia $c$ y lo "amplío" en un factor de $k$ . ¿Puedo saber el resultado de un círculo (sin zoom) $O'$ de diámetro $kd$ ? Bueno, si lo piensas un poco verás que la respuesta es "no" (ten en cuenta que el círculo en sí no tiene grosor, por lo que no veo que se haga "más grueso" cuando lo amplío).
¿Y qué? Bueno, cuando hago "zoom" en $O$ el diámetro se convierte en $kd$ - y la circunferencia se convierte en $kc$ . Esto significa que la circunferencia de $O'$ es también $kc$ (porque no puedo decir $O'$ de la versión "ampliada" de $O$ ). Pero $${kc\over kd}={c\over d},$$ por lo que la relación entre la circunferencia y el radio sigue siendo la misma.
Esto está en el mismo espíritu que los triángulos similares - básicamente, estoy diciendo que dos círculos cualesquiera son similares . De hecho, para convertir el argumento informal anterior en una prueba genuina, ampliamos esta idea (esto es lo que el comentario de Did anterior, mencionando homothety ). Pero espero que esto ayude a aclarar el panorama.
dxiv
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1639
No es una prueba en sí, pero otra forma de verlo es que los tamaños son relativos. Supongamos que estamos en el plano 2D con una cinta métrica y medimos el diámetro $d$ y circunferencia $c$ de un círculo. Ahora supongamos que el círculo se amplía en algún factor, digamos dos veces. Para ti, eso es lo mismo que si el círculo se mantuviera del mismo tamaño, pero tú y la cinta métrica os redujerais a la mitad. Como la unidad de la cinta métrica es ahora la mitad de la original, todo lo que mides ahora da un valor el doble de grande, ya que caben el doble de unidades en la misma longitud. Así que cuando vuelvas a medir el círculo, obtendrás $2 d$ para el diámetro y $2 c$ para la circunferencia. Lo que significa que la relación de los dos sigue siendo la misma $\frac{2 c}{2 d} = \frac{c}{d} = \pi$ . Por supuesto, lo mismo se aplica a cualquier factor de escala, no sólo a $2$ .
Por cierto, esta es la razón por la que $\pi$ es una constante universal, es decir, la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo es la misma si los medimos en pulgadas, kilómetros o parsecs.
