Sea $C$ sea la trayectoria de integración de un semicírculo de radio $R$ denotado por $S(R)$ con una línea recta en el eje real desde $-R$ a $R$ . Entonces tenemos eso:
$$\oint_{C} \frac{1}{z^4+z^2+1}dz = \left(\int_{0}^{R} +\int_{S(R)} + \int_{-R}^{0}\right) \frac{1}{z^4+z^2+1}dz.$$
Tenga en cuenta que:
$$\int_{0}^{R} \frac{1}{z^4+z^2+1}dz = \int_{-R}^{0}\frac{1}{z^4+z^2+1}dz$$
con la sustitución $u = -z$ . Ahora, por el teorema del residuo tenemos que:
$$\oint_{C}\frac{1}{z^4+z^2+1}dz = 2i\pi \left(\frac{1}{2(1+i\sqrt{3})}+\frac{1}{2(-1+i\sqrt{3})}\right) = \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$$
Cuando los términos del lado izquierdo son $2i\pi \sum_{j=1}^2 Res(f(z_j))$ donde $z_1,z_2$ son las dos raíces del polinomio encerradas por $C$ . Ya lo he demostrado:
$$\lim_{R\to\infty} \int_{S(R)} \frac{1}{z^4+z^2+1}dz = 0$$
Con todos estos resultados podría concluir que:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^4+x^2+1} = \sqrt{3}\frac{\pi}{4}$$
Sin embargo, mediante una simulación numérica, el valor parece ser $\pi/2\sqrt{3}$ pero no tengo ni idea de dónde hago un mal movimiento.
